Номер 155, страница 81 - гдз по геометрии 8 класс учебник Солтан, Солтан

155. Перпендикуляр, проведенный из вершины тупого угла ромба, делит его сторону на отрезки длиной 4 см и 8 см. Найдите диагонали ромба.

Дано:

Ромб $ABCD$. Из вершины тупого угла $B$ проведен перпендикуляр $BH$ к стороне $AD$.

Отрезки, на которые перпендикуляр $BH$ делит сторону $AD$, имеют длины $4$ см и $8$ см.

Перевод в СИ:

$L_1 = 4 \text{ см} = 0.04 \text{ м}$

$L_2 = 8 \text{ см} = 0.08 \text{ м}$

Найти:

Длины диагоналей ромба $AC$ и $BD$.

Решение:

По условию, перпендикуляр делит сторону ромба на отрезки длиной $4$ см и $8$ см. Это означает, что длина стороны ромба $a$ равна сумме этих отрезков:

$a = 4 \text{ см} + 8 \text{ см} = 12 \text{ см} = 0.12 \text{ м}$.

Пусть $BH$ — перпендикуляр, проведенный из вершины тупого угла $B$ к стороне $AD$. Угол $A$ в ромбе, смежный с тупым углом $B$, является острым. Поэтому основание перпендикуляра $H$ лежит на стороне $AD$.

Существуют две возможные интерпретации, какие из отрезков $AH$ и $HD$ равны $4$ см и $8$ см, так как в условии не указано, какой отрезок прилегает к острому углу, а какой к тупому.

Случай 1: Отрезок $AH$ (прилежащий к острому углу $A$) равен $4$ см, а $HD = 8$ см.

1. Рассмотрим прямоугольный треугольник $ABH$ (с прямым углом при $H$).

Гипотенуза $AB$ является стороной ромба, поэтому $AB = a = 12$ см. Катет $AH = 4$ см.

Найдем высоту $BH$ (перпендикуляр) по теореме Пифагора:

$BH^2 = AB^2 - AH^2$

$BH^2 = 12^2 - 4^2 = 144 - 16 = 128$

$BH = \sqrt{128} = \sqrt{64 \cdot 2} = 8\sqrt{2}$ см.

2. Найдем косинус острого угла $A$ ромба в треугольнике $ABH$:

$\cos(\angle A) = \frac{AH}{AB} = \frac{4}{12} = \frac{1}{3}$.

3. Угол $B$ в ромбе является тупым, и $\angle A + \angle B = 180^\circ$. Следовательно, $\cos(\angle B) = \cos(180^\circ - \angle A) = -\cos(\angle A) = -\frac{1}{3}$.

4. Найдем длины диагоналей ромба, используя теорему косинусов.

Диагональ $BD$ соединяет вершины $B$ и $D$. В треугольнике $ABD$ стороны $AB = AD = 12$ см. Угол между ними $\angle A$ является острым.

$BD^2 = AB^2 + AD^2 - 2 \cdot AB \cdot AD \cdot \cos(\angle A)$

$BD^2 = 12^2 + 12^2 - 2 \cdot 12 \cdot 12 \cdot \frac{1}{3}$

$BD^2 = 144 + 144 - 2 \cdot 144 \cdot \frac{1}{3}$

$BD^2 = 288 - 96 = 192$

$BD = \sqrt{192} = \sqrt{64 \cdot 3} = 8\sqrt{3}$ см.

Диагональ $AC$ соединяет вершины $A$ и $C$. В треугольнике $ABC$ стороны $AB = BC = 12$ см. Угол между ними $\angle B$ является тупым.

$AC^2 = AB^2 + BC^2 - 2 \cdot AB \cdot BC \cdot \cos(\angle B)$

$AC^2 = 12^2 + 12^2 - 2 \cdot 12 \cdot 12 \cdot \left(-\frac{1}{3}\right)$

$AC^2 = 144 + 144 + 2 \cdot 144 \cdot \frac{1}{3}$

$AC^2 = 288 + 96 = 384$

$AC = \sqrt{384} = \sqrt{64 \cdot 6} = 8\sqrt{6}$ см.

Случай 2: Отрезок $AH$ (прилежащий к острому углу $A$) равен $8$ см, а $HD = 4$ см.

1. Рассмотрим прямоугольный треугольник $ABH$.

Гипотенуза $AB = a = 12$ см. Катет $AH = 8$ см.

Найдем высоту $BH$ по теореме Пифагора:

$BH^2 = AB^2 - AH^2$

$BH^2 = 12^2 - 8^2 = 144 - 64 = 80$

$BH = \sqrt{80} = \sqrt{16 \cdot 5} = 4\sqrt{5}$ см.

2. Найдем косинус острого угла $A$ ромба в треугольнике $ABH$:

$\cos(\angle A) = \frac{AH}{AB} = \frac{8}{12} = \frac{2}{3}$.

3. Угол $B$ в ромбе является тупым, и $\cos(\angle B) = -\cos(\angle A) = -\frac{2}{3}$.

4. Найдем длины диагоналей ромба, используя теорему косинусов.

Диагональ $BD$ (стороны $AB = AD = 12$ см, угол между ними $\angle A$):

$BD^2 = AB^2 + AD^2 - 2 \cdot AB \cdot AD \cdot \cos(\angle A)$

$BD^2 = 12^2 + 12^2 - 2 \cdot 12 \cdot 12 \cdot \frac{2}{3}$

$BD^2 = 288 - 2 \cdot 144 \cdot \frac{2}{3}$

$BD^2 = 288 - 192 = 96$

$BD = \sqrt{96} = \sqrt{16 \cdot 6} = 4\sqrt{6}$ см.

Диагональ $AC$ (стороны $AB = BC = 12$ см, угол между ними $\angle B$):

$AC^2 = AB^2 + BC^2 - 2 \cdot AB \cdot BC \cdot \cos(\angle B)$

$AC^2 = 12^2 + 12^2 - 2 \cdot 12 \cdot 12 \cdot \left(-\frac{2}{3}\right)$

$AC^2 = 288 + 2 \cdot 144 \cdot \frac{2}{3}$

$AC^2 = 288 + 192 = 480$

$AC = \sqrt{480} = \sqrt{16 \cdot 30} = 4\sqrt{30}$ см.

Ответ:

Длины диагоналей ромба могут быть либо $8\sqrt{3}$ см и $8\sqrt{6}$ см, либо $4\sqrt{6}$ см и $4\sqrt{30}$ см.