Номер 148, страница 80 - гдз по геометрии 8 класс учебник Солтан, Солтан

148.

a) Можно ли на основании теоремы Пифагора утверждать, что треугольник со сторонами 6 см, 8 см и 10 см является прямоугольным?

б) Можно ли утверждать, что треугольник со сторонами 12 см, 15 см и 9 см – прямоугольный? Если можно, то на основании какой теоремы?

в) Как на местности можно построить прямой угол, используя шпагат, на котором узлами отмечены 1,5 м, 2 м и 2,5 м?

а)

Дано:

Стороны треугольника: $a = 6 \text{ см}$, $b = 8 \text{ см}$, $c = 10 \text{ см}$.

Перевод в СИ не требуется, так как для проверки свойства прямоугольного треугольника важны соотношения длин сторон, а не их абсолютные значения в метрах.

Найти:

Можно ли на основании теоремы Пифагора утверждать, что треугольник является прямоугольным?

Решение:

Для определения, является ли треугольник прямоугольным, необходимо проверить выполнение обратной теоремы Пифагора. Обратная теорема Пифагора утверждает, что если в треугольнике квадрат одной стороны равен сумме квадратов двух других сторон, то этот треугольник является прямоугольным. В данном случае, самая длинная сторона — 10 см, а две другие — 6 см и 8 см. Проверим, выполняется ли равенство $a^2 + b^2 = c^2$, где $c$ - самая длинная сторона:

$6^2 + 8^2 = 36 + 64 = 100$
$10^2 = 100$

Поскольку $6^2 + 8^2 = 10^2$, равенство выполняется. Следовательно, треугольник является прямоугольным.

Ответ: Да.

б)

Дано:

Стороны треугольника: $a = 12 \text{ см}$, $b = 15 \text{ см}$, $c = 9 \text{ см}$.

Перевод в СИ не требуется, так как для проверки свойства прямоугольного треугольника важны соотношения длин сторон.

Найти:

Можно ли утверждать, что треугольник является прямоугольным? Если можно, то на основании какой теоремы?

Решение:

Для определения, является ли треугольник прямоугольным, проверим выполнение обратной теоремы Пифагора. Самая длинная сторона — 15 см, две другие — 12 см и 9 см. Проверим, выполняется ли равенство суммы квадратов двух меньших сторон квадрату большей стороны:

$9^2 + 12^2 = 81 + 144 = 225$
$15^2 = 225$

Поскольку $9^2 + 12^2 = 15^2$, равенство выполняется. Следовательно, треугольник является прямоугольным.

Основанием для этого утверждения является обратная теорема Пифагора (или, как ее иногда называют, теорема, обратная теореме Пифагора).

Ответ: Да, на основании обратной теоремы Пифагора.

в)

Дано:

Длины, отмеченные узлами на шпагате: $l_1 = 1.5 \text{ м}$, $l_2 = 2 \text{ м}$, $l_3 = 2.5 \text{ м}$.

Все данные уже представлены в системе СИ (метрах).

Найти:

Как на местности можно построить прямой угол, используя шпагат, на котором узлами отмечены 1,5 м, 2 м и 2,5 м?

Решение:

Для построения прямого угла на местности можно использовать свойство прямоугольного треугольника, основанное на обратной теореме Пифагора. Сначала проверим, образуют ли данные длины сторон прямоугольный треугольник:

$1.5^2 + 2^2 = 2.25 + 4 = 6.25$
$2.5^2 = 6.25$

Так как $1.5^2 + 2^2 = 2.5^2$, эти длины (1.5 м, 2 м, 2.5 м) действительно образуют стороны прямоугольного треугольника. Прямой угол в таком треугольнике находится напротив самой длинной стороны (гипотенузы), то есть напротив стороны длиной 2.5 м.

Порядок действий для построения прямого угла на местности:

1. Возьмите кусок шпагата общей длиной, равной сумме всех трех отрезков: $1.5 + 2 + 2.5 = 6$ м.

2. Отмерьте и отметьте на шпагате узлы. Пусть один конец шпагата будет точкой А (0 м). Отметьте первый узел в точке В на расстоянии 1.5 м от А. Отметьте второй узел в точке С на расстоянии 2 м от В (что составляет 3.5 м от А).

3. Соедините два конца шпагата (точку А и точку, соответствующую 6 м от А), чтобы образовался замкнутый треугольник. Таким образом, у вас образуются три отрезка шпагата: АВ (1.5 м), ВС (2 м) и СА (2.5 м, так как это оставшаяся часть шпагата $6 - 3.5 = 2.5$ м).

4. Разместите три точки (узлы или концы шпагата) на земле, растянув шпагат до натяжения, так чтобы он образовал треугольник. Точку В (где соединяются отрезки 1.5 м и 2 м) закрепите в месте, где вы хотите построить прямой угол.

5. Натяните шпагат, закрепив точки А и С на земле. Угол при вершине В (между сторонами 1.5 м и 2 м) будет прямым углом (90 градусов), так как он лежит напротив стороны 2.5 м.

Ответ: На местности можно построить прямой угол, используя шпагат, размеченный как 1.5 м, 2 м и 2.5 м, путем формирования из него треугольника. Угол, заключенный между сторонами 1.5 м и 2 м, будет прямым. Этот метод основан на обратной теореме Пифагора.