Номер 150, страница 80 - гдз по геометрии 8 класс учебник Солтан, Солтан

150. a) В равнобедренном прямоугольном треугольнике гипотенуза равна 3 дм. Чему равны катеты этого треугольника?

б) В прямоугольном $\triangle ABC$, $\angle C = 90^\circ$, $AC = 3 \text{ дм}$, $\cos B = \frac{8}{17}$. Найдите $CB$ и $AB$.

a)

Дано:

В равнобедренном прямоугольном треугольнике:

Катеты: $a = b$

Гипотенуза: $c = 3$ дм

Перевод в СИ:

$c = 3$ дм $= 0.3$ м

Найти:

Катеты $a$, $b$

Решение:

В равнобедренном прямоугольном треугольнике катеты равны. Обозначим их за $a$. По теореме Пифагора сумма квадратов катетов равна квадрату гипотенузы:

$a^2 + b^2 = c^2$

Так как $a = b$, то уравнение принимает вид:

$a^2 + a^2 = c^2$

$2a^2 = c^2$

Выразим $a^2$:

$a^2 = \frac{c^2}{2}$

Извлекаем квадратный корень, чтобы найти $a$:

$a = \sqrt{\frac{c^2}{2}} = \frac{c}{\sqrt{2}}$

Подставляем значение гипотенузы $c = 3$ дм:

$a = \frac{3}{\sqrt{2}}$ дм

Для устранения иррациональности в знаменателе, умножим числитель и знаменатель на $\sqrt{2}$:

$a = \frac{3 \cdot \sqrt{2}}{\sqrt{2} \cdot \sqrt{2}} = \frac{3\sqrt{2}}{2}$ дм

Так как $b = a$, то $b = \frac{3\sqrt{2}}{2}$ дм.

Ответ: Катеты равны $\frac{3\sqrt{2}}{2}$ дм.

б)

Дано:

Прямоугольный $\triangle ABC$

$\angle C = 90^\circ$

$AC = 3$ дм

$\cos B = \frac{8}{17}$

Перевод в СИ:

$AC = 3$ дм $= 0.3$ м

Найти:

$CB$ и $AB$

Решение:

В прямоугольном треугольнике $\triangle ABC$ с прямым углом $C$, катет $AC$ является противолежащим углу $B$, катет $CB$ является прилежащим углу $B$, а $AB$ - гипотенуза.

По определению синуса угла $B$: $\sin B = \frac{\text{противолежащий катет}}{\text{гипотенуза}} = \frac{AC}{AB}$.

По определению косинуса угла $B$: $\cos B = \frac{\text{прилежащий катет}}{\text{гипотенуза}} = \frac{CB}{AB}$.

Используем основное тригонометрическое тождество для нахождения $\sin B$:

$\sin^2 B + \cos^2 B = 1$

Выразим $\sin^2 B$:

$\sin^2 B = 1 - \cos^2 B$

Подставим известное значение $\cos B = \frac{8}{17}$:

$\sin^2 B = 1 - \left(\frac{8}{17}\right)^2$

$\sin^2 B = 1 - \frac{64}{289}$

Приведем к общему знаменателю:

$\sin^2 B = \frac{289 - 64}{289}$

$\sin^2 B = \frac{225}{289}$

Извлекаем квадратный корень. Поскольку $B$ является углом прямоугольного треугольника, он острый, и его синус положителен:

$\sin B = \sqrt{\frac{225}{289}} = \frac{15}{17}$

Теперь найдем гипотенузу $AB$ из определения синуса ($\sin B = \frac{AC}{AB}$):

$AB = \frac{AC}{\sin B}$

Подставим значения $AC = 3$ дм и $\sin B = \frac{15}{17}$:

$AB = \frac{3}{\frac{15}{17}}$

$AB = 3 \cdot \frac{17}{15}$

$AB = \frac{17}{5}$

$AB = 3.4$ дм

Теперь найдем катет $CB$ из определения косинуса ($\cos B = \frac{CB}{AB}$):

$CB = AB \cdot \cos B$

Подставим значения $AB = 3.4$ дм и $\cos B = \frac{8}{17}$:

$CB = 3.4 \cdot \frac{8}{17}$

Для удобства вычислений представим $3.4$ как дробь $3.4 = \frac{34}{10} = \frac{17}{5}$:

$CB = \frac{17}{5} \cdot \frac{8}{17}$

$CB = \frac{8}{5}$

$CB = 1.6$ дм

Ответ: $CB = 1.6$ дм, $AB = 3.4$ дм.