Номер 151, страница 80 - гдз по геометрии 8 класс учебник Солтан, Солтан

151. a) В равнобедренной трапеции основания равны 8 дм и 14 дм, высота трапеции 4 дм. Найдите боковую сторону трапеции.

б) Найдите диагональ прямоугольника, если его периметр равен 56 см, а разность сторон 4 см.

в) Дан прямоугольник $ABCD$ со сторонами 7 см и 24 см и построены точки $A_1$ и $C_1$, симметричные точкам $A$ и $C$ относительно прямой $BD$. Докажите, что $AA_1CC_1$ – прямоугольник и найдите его диагональ $A_1C_1$.

а)

Дано:

Трапеция равнобедренная.

Основания: $a = 8$ дм, $b = 14$ дм.

Высота: $h = 4$ дм.

Перевод в СИ:

$a = 8$ дм $= 0.8$ м.

$b = 14$ дм $= 1.4$ м.

$h = 4$ дм $= 0.4$ м.

Найти:

Боковая сторона $c$.

Решение:

В равнобедренной трапеции, если опустить высоты из вершин меньшего основания на большее основание, то большее основание делится на три отрезка: два равных по краям и один, равный меньшему основанию, в центре.

Длина крайних отрезков $x$ на большем основании определяется как:

$x = \frac{b - a}{2}$

Подставим значения:

$x = \frac{14 \text{ дм} - 8 \text{ дм}}{2} = \frac{6 \text{ дм}}{2} = 3 \text{ дм}$

Теперь рассмотрим один из прямоугольных треугольников, образованных боковой стороной, высотой и отрезком $x$. Боковая сторона является гипотенузой. По теореме Пифагора:

$c^2 = h^2 + x^2$

$c^2 = (4 \text{ дм})^2 + (3 \text{ дм})^2$

$c^2 = 16 \text{ дм}^2 + 9 \text{ дм}^2$

$c^2 = 25 \text{ дм}^2$

$c = \sqrt{25 \text{ дм}^2} = 5 \text{ дм}$

Ответ: 5 дм

б)

Дано:

Прямоугольник.

Периметр $P = 56$ см.

Разность сторон $l - w = 4$ см (пусть $l$ - большая сторона, $w$ - меньшая).

Перевод в СИ:

$P = 56$ см $= 0.56$ м.

$l - w = 4$ см $= 0.04$ м.

Найти:

Диагональ $d$.

Решение:

Пусть стороны прямоугольника равны $l$ и $w$.

Периметр прямоугольника задается формулой $P = 2(l + w)$.

Имеем систему уравнений:

$1) 2(l + w) = 56$

$2) l - w = 4$

Из первого уравнения:

$l + w = \frac{56}{2}$

$l + w = 28$

Теперь у нас есть простая система:

$1') l + w = 28$

$2') l - w = 4$

Сложим уравнения $1')$ и $2')$:

$(l + w) + (l - w) = 28 + 4$

$2l = 32$

$l = \frac{32}{2} = 16$ см

Подставим значение $l$ в уравнение $1')$:

$16 + w = 28$

$w = 28 - 16 = 12$ см

Таким образом, стороны прямоугольника равны 16 см и 12 см.

Диагональ прямоугольника $d$ можно найти по теореме Пифагора, так как диагональ, вместе со сторонами, образует прямоугольный треугольник:

$d^2 = l^2 + w^2$

$d^2 = (16 \text{ см})^2 + (12 \text{ см})^2$

$d^2 = 256 \text{ см}^2 + 144 \text{ см}^2$

$d^2 = 400 \text{ см}^2$

$d = \sqrt{400 \text{ см}^2} = 20 \text{ см}$

Ответ: 20 см

в)

Дано:

Прямоугольник $ABCD$.

Стороны $AB = 7$ см, $BC = 24$ см.

Точки $A_1$ и $C_1$ симметричны $A$ и $C$ соответственно относительно прямой $BD$.

Перевод в СИ:

$AB = 7$ см $= 0.07$ м.

$BC = 24$ см $= 0.24$ м.

Найти:

Доказать, что $AA_1CC_1$ – прямоугольник.

Диагональ $A_1C_1$.

Решение:

Докажем, что $AA_1CC_1$ – прямоугольник.

1. Свойства симметрии: По определению симметрии относительно прямой, если точка $A_1$ симметрична точке $A$ относительно прямой $BD$, то отрезок $AA_1$ перпендикулярен прямой $BD$ и делится ею пополам. Аналогично, отрезок $CC_1$ перпендикулярен прямой $BD$ и делится ею пополам.

2. Параллельность сторон: Поскольку $AA_1 \perp BD$ и $CC_1 \perp BD$, то $AA_1 \parallel CC_1$.

3. Равенство сторон: Пусть $O$ - точка пересечения диагоналей прямоугольника $ABCD$. $O$ лежит на диагонали $BD$. Так как $O$ является центром симметрии прямоугольника, то точка $A$ находится на таком же расстоянии от $BD$, как и точка $C$. (Более строго: расстояние от $A$ до $BD$ равно высоте треугольника $ABD$ из вершины $A$ на сторону $BD$. Расстояние от $C$ до $BD$ равно высоте треугольника $CDB$ из вершины $C$ на сторону $BD$. Поскольку $\triangle ABD \cong \triangle CDB$ и $BD$ является их общей стороной, высоты, опущенные из $A$ и $C$ на $BD$, равны). Следовательно, длины перпендикуляров от $A$ и $C$ к $BD$ равны. Обозначим эту длину $h_{AD}$. Тогда $AA_1 = 2h_{AD}$ и $CC_1 = 2h_{CD}$. Поскольку $h_{AD} = h_{CD}$, то $AA_1 = CC_1$.

4. Тип четырехугольника: Поскольку $AA_1 \parallel CC_1$ и $AA_1 = CC_1$, четырехугольник $AA_1CC_1$ является параллелограммом (у него две противоположные стороны параллельны и равны).

5. Доказательство, что это прямоугольник: Диагоналями параллелограмма $AA_1CC_1$ являются $AC$ и $A_1C_1$. Свойство симметрии относительно прямой заключается в том, что оно является изометрией (сохраняет расстояния между точками). Следовательно, длина отрезка $AC$ равна длине его образа $A_1C_1$. То есть, $AC = A_1C_1$. Параллелограмм, у которого диагонали равны, является прямоугольником.

Таким образом, $AA_1CC_1$ является прямоугольником.

Найдем диагональ $A_1C_1$:

Как было показано выше, $A_1C_1 = AC$. $AC$ является диагональю прямоугольника $ABCD$.

Стороны прямоугольника $ABCD$ равны $AB = 7$ см и $BC = 24$ см. По теореме Пифагора для прямоугольного треугольника $ABC$:

$AC^2 = AB^2 + BC^2$

$AC^2 = (7 \text{ см})^2 + (24 \text{ см})^2$

$AC^2 = 49 \text{ см}^2 + 576 \text{ см}^2$

$AC^2 = 625 \text{ см}^2$

$AC = \sqrt{625 \text{ см}^2} = 25 \text{ см}$

Следовательно, диагональ $A_1C_1 = 25$ см.

Ответ: 25 см