Номер 158, страница 82 - гдз по геометрии 8 класс учебник Солтан, Солтан

158. а) Перпендикуляр, проведенный из вершины параллелограмма к его диагонали, делит эту диагональ на отрезки длиной 6 дм и 15 дм. Найдите длины сторон параллелограмма, если разность двух из них равна 7 дм.

б) Дан прямоугольник $ABCD$ и точка $X$ на его стороне $BC$. Докажите, что $AX^2 + XC^2 = BX^2 + XD^2$.

в) В прямоугольнике $ABCD$ $AB = 2$ см, $BC = 2\sqrt{3}$ см. К его диагонали $AC$ проведен перпендикуляр $BH$. Найдите отношение $AH : HC$.

г) Найдите высоту прямоугольного треугольника, проведенную к гипотенузе, если его катеты равны 3 см и 4 см.

а)

Дано:

Параллелограмм $ABCD$.

Перпендикуляр $BH$ к диагонали $AC$, делящий ее на отрезки $AH$ и $HC$.

Длины отрезков $AH = 6$ дм, $HC = 15$ дм.

Разность длин двух сторон параллелограмма: $|AB - BC| = 7$ дм.

Перевод в СИ:

$AH = 6$ дм $= 0.6$ м

$HC = 15$ дм $= 1.5$ м

$|AB - BC| = 7$ дм $= 0.7$ м

Найти:

Длины сторон параллелограмма $AB$ и $BC$.

Решение:

Пусть стороны параллелограмма $AB = a$ и $BC = b$.

Рассмотрим прямоугольные треугольники $\triangle ABH$ и $\triangle CBH$, где $BH$ - высота, опущенная из вершины $B$ на диагональ $AC$.

По теореме Пифагора для $\triangle ABH$:

$a^2 = AH^2 + BH^2$

$a^2 = 0.6^2 + BH^2$

$a^2 = 0.36 + BH^2$ (1)

По теореме Пифагора для $\triangle CBH$:

$b^2 = HC^2 + BH^2$

$b^2 = 1.5^2 + BH^2$

$b^2 = 2.25 + BH^2$ (2)

Из уравнений (1) и (2) видно, что $b^2 > a^2$, следовательно $b > a$.

По условию задачи, разность длин двух сторон равна 7 дм (0.7 м), что означает $b - a = 0.7$ м.

Вычтем уравнение (1) из уравнения (2):

$b^2 - a^2 = (2.25 + BH^2) - (0.36 + BH^2)$

$b^2 - a^2 = 2.25 - 0.36$

$b^2 - a^2 = 1.89$

Разложим левую часть как разность квадратов:

$(b - a)(b + a) = 1.89$

Мы знаем, что $b - a = 0.7$. Подставим это значение:

$0.7(b + a) = 1.89$

$b + a = \frac{1.89}{0.7}$

$b + a = 2.7$

Теперь у нас есть система из двух линейных уравнений:

1) $b - a = 0.7$

2) $b + a = 2.7$

Сложим уравнения (1) и (2):

$(b - a) + (b + a) = 0.7 + 2.7$

$2b = 3.4$

$b = 1.7$ м

Подставим значение $b$ в уравнение (1):

$1.7 - a = 0.7$

$a = 1.7 - 0.7$

$a = 1$ м

Таким образом, длины сторон параллелограмма равны 1 м и 1.7 м.

Ответ:

Стороны параллелограмма равны 10 дм и 17 дм.

б)

Дано:

Прямоугольник $ABCD$.

Точка $X$ лежит на стороне $BC$.

Найти:

Доказать, что $AX^2 + XC^2 = BX^2 + XD^2$.

Решение:

Пусть длины сторон прямоугольника $AB = CD = a$ и $BC = AD = b$.

Пусть $BX = x$. Тогда $XC = BC - BX = b - x$.

Рассмотрим прямоугольный треугольник $\triangle ABX$ (угол $B = 90^\circ$). По теореме Пифагора:

$AX^2 = AB^2 + BX^2$

$AX^2 = a^2 + x^2$.

Рассмотрим прямоугольный треугольник $\triangle CDX$ (угол $C = 90^\circ$). По теореме Пифагора:

$XD^2 = CD^2 + XC^2$

$XD^2 = a^2 + (b - x)^2$.

Теперь подставим эти выражения в доказываемое равенство $AX^2 + XC^2 = BX^2 + XD^2$.

Левая часть равенства: $AX^2 + XC^2 = (a^2 + x^2) + (b - x)^2$.

Правая часть равенства: $BX^2 + XD^2 = x^2 + (a^2 + (b - x)^2)$.

Сравнивая левую и правую части, видим, что они тождественны:

$a^2 + x^2 + (b - x)^2 = x^2 + a^2 + (b - x)^2$.

Таким образом, равенство $AX^2 + XC^2 = BX^2 + XD^2$ доказано.

Ответ:

Доказано.

в)

Дано:

Прямоугольник $ABCD$.

$AB = 2$ см.

$BC = 2\sqrt{3}$ см.

Перпендикуляр $BH$ к диагонали $AC$ ($H$ лежит на $AC$).

Перевод в СИ:

$AB = 2$ см $= 0.02$ м

$BC = 2\sqrt{3}$ см $\approx 0.03464$ м

Найти:

Отношение $AH : HC$.

Решение:

В прямоугольнике $ABCD$, $AB = CD = 2$ см и $BC = AD = 2\sqrt{3}$ см.

Диагональ $AC$ является гипотенузой прямоугольного треугольника $\triangle ABC$.

По теореме Пифагора для $\triangle ABC$:

$AC^2 = AB^2 + BC^2$

$AC^2 = (2)^2 + (2\sqrt{3})^2 = 4 + (4 \cdot 3) = 4 + 12 = 16$

$AC = \sqrt{16} = 4$ см.

$BH$ - это высота, опущенная из вершины прямого угла $B$ на гипотенузу $AC$ в $\triangle ABC$.

В прямоугольном треугольнике, квадрат катета равен произведению гипотенузы на проекцию этого катета на гипотенузу.

Для катета $AB$ и его проекции $AH$:

$AB^2 = AC \cdot AH$

$2^2 = 4 \cdot AH$

$4 = 4 \cdot AH \implies AH = 1$ см.

Для катета $BC$ и его проекции $HC$:

$BC^2 = AC \cdot HC$

$(2\sqrt{3})^2 = 4 \cdot HC$

$12 = 4 \cdot HC \implies HC = 3$ см.

Таким образом, отношение $AH : HC$ равно $1 : 3$.

Ответ:

$AH : HC = 1 : 3$.

г)

Дано:

Прямоугольный треугольник.

Катеты $a = 3$ см, $b = 4$ см.

Перевод в СИ:

$a = 3$ см $= 0.03$ м

$b = 4$ см $= 0.04$ м

Найти:

Высоту $h_c$, проведенную к гипотенузе.

Решение:

Пусть катеты прямоугольного треугольника равны $a$ и $b$, а гипотенуза $c$.

По теореме Пифагора найдем длину гипотенузы $c$:

$c^2 = a^2 + b^2$

$c^2 = 3^2 + 4^2 = 9 + 16 = 25$

$c = \sqrt{25} = 5$ см.

Площадь прямоугольного треугольника может быть выражена двумя способами:

1. Через катеты: $S = \frac{1}{2}ab$.

2. Через гипотенузу и высоту $h_c$, проведенную к ней: $S = \frac{1}{2}ch_c$.

Приравниваем эти выражения для площади:

$\frac{1}{2}ab = \frac{1}{2}ch_c$

$ab = ch_c$

$h_c = \frac{ab}{c}$

Подставим известные значения:

$h_c = \frac{3 \cdot 4}{5} = \frac{12}{5} = 2.4$ см.

Ответ:

Высота, проведенная к гипотенузе, равна 2.4 см.