Номер 163, страница 86 - гдз по геометрии 8 класс учебник Солтан, Солтан

163. а) Найдите неизвестные катет и гипотенузу прямоугольного треугольника, если:

1) второй катет равен 3 см, а тангенс противолежащего ему угла равен 0,75;

2) второй катет равен 10 см, а тангенс прилежащего к нему угла равен 2,4.

б) В прямоугольном $\triangle ABD$ $\angle B = 90^\circ$, высота $BC = 6$ см, $AC = 8$ см. Найдите $CD$.

в) Площадь прямоугольника равна $420$ см$^2$, а разность его сторон равна $23$ см. Найдите тангенсы углов, образованных диагональю прямоугольника с его сторонами.

Озеро Верхний Кольсай

г) На берегу горного озера Верхнее в казахстанском национальном природном парке «Кольсайские озера» находится пункт $X$. На какой высоте $XH$ над уровнем моря он находится, если расстояние от пункта $X$ до пункта $A$, расположенного на уровне моря у подножия горы, равно 3 км, а $\angle HAX = 65^\circ$? (Ответ найдите с точностью до $0,1$ км.)

а)

1)

Дано:

Прямоугольный треугольник.
Катет $a = 3$ см.
Тангенс угла $\alpha$ противолежащего катету $a$: $\tan \alpha = 0.75$.

Найти:

Неизвестный катет $b$.
Гипотенуза $c$.

Решение:

По определению тангенса угла в прямоугольном треугольнике, $\tan \alpha = \frac{\text{противолежащий катет}}{\text{прилежащий катет}}$.
В нашем случае, $\tan \alpha = \frac{a}{b}$.
$0.75 = \frac{3}{b}$
$b = \frac{3}{0.75} = \frac{3}{\frac{3}{4}} = 3 \cdot \frac{4}{3} = 4$ см.
Теперь найдем гипотенузу $c$ по теореме Пифагора: $c^2 = a^2 + b^2$.
$c^2 = 3^2 + 4^2 = 9 + 16 = 25$.
$c = \sqrt{25} = 5$ см.

Ответ:

Неизвестный катет: $4$ см. Гипотенуза: $5$ см.

2)

Дано:

Прямоугольный треугольник.
Катет $a = 10$ см.
Тангенс угла $\beta$ прилежащего к катету $a$: $\tan \beta = 2.4$.

Найти:

Неизвестный катет $b$.
Гипотенуза $c$.

Решение:

По определению тангенса угла в прямоугольном треугольнике, $\tan \beta = \frac{\text{противолежащий катет}}{\text{прилежащий катет}}$.
В нашем случае, $\tan \beta = \frac{b}{a}$.
$2.4 = \frac{b}{10}$
$b = 2.4 \cdot 10 = 24$ см.
Теперь найдем гипотенузу $c$ по теореме Пифагора: $c^2 = a^2 + b^2$.
$c^2 = 10^2 + 24^2 = 100 + 576 = 676$.
$c = \sqrt{676} = 26$ см.

Ответ:

Неизвестный катет: $24$ см. Гипотенуза: $26$ см.

б)

Дано:

Прямоугольный треугольник $\triangle ABD$.
$\angle B = 90^\circ$.
Высота $BC = 6$ см (где $C$ лежит на гипотенузе $AD$).
Отрезок гипотенузы $AC = 8$ см.

Найти:

$CD$.

Решение:

В прямоугольном треугольнике $ABD$ с прямым углом при вершине $B$, проведена высота $BC$ к гипотенузе $AD$.
По свойству высоты, проведенной к гипотенузе в прямоугольном треугольнике, квадрат высоты равен произведению отрезков, на которые высота делит гипотенузу: $BC^2 = AC \cdot CD$.
Подставим известные значения:
$6^2 = 8 \cdot CD$.
$36 = 8 \cdot CD$.
$CD = \frac{36}{8} = \frac{9}{2} = 4.5$ см.

Ответ:

$CD = 4.5$ см.

в)

Дано:

Прямоугольник.
Площадь $S = 420 \text{ см}^2$.
Разность сторон $a - b = 23$ см (пусть $a$ - большая сторона, $b$ - меньшая).

Найти:

Тангенсы углов, образованных диагональю прямоугольника с его сторонами.

Решение:

Пусть стороны прямоугольника равны $a$ и $b$.
Площадь прямоугольника выражается формулой $S = a \cdot b$.
По условию: $a \cdot b = 420$.
Также по условию: $a - b = 23 \implies a = 23 + b$.
Подставим выражение для $a$ в уравнение площади:
$(23 + b) \cdot b = 420$.
$23b + b^2 = 420$.
Перепишем в стандартном виде квадратного уравнения:
$b^2 + 23b - 420 = 0$.
Найдем дискриминант $D = B^2 - 4AC$:
$D = 23^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-420) = 529 + 1680 = 2209$.
$\sqrt{D} = \sqrt{2209} = 47$.
Найдем значения $b$:
$b = \frac{-B \pm \sqrt{D}}{2A} = \frac{-23 \pm 47}{2}$.
Поскольку длина стороны не может быть отрицательной, выбираем положительное значение:
$b = \frac{-23 + 47}{2} = \frac{24}{2} = 12$ см.
Теперь найдем $a$:
$a = 23 + b = 23 + 12 = 35$ см.
Проверим: $35 \cdot 12 = 420$. Значения сторон найдены верно.
Диагональ прямоугольника образует два угла с его сторонами. Рассмотрим прямоугольный треугольник, образованный сторонами $a$, $b$ и диагональю $d$.
Тангенс угла $\alpha$ между диагональю и стороной $a$ равен отношению противолежащей стороны $b$ к прилежащей стороне $a$:
$\tan \alpha = \frac{b}{a} = \frac{12}{35}$.
Тангенс угла $\beta$ между диагональю и стороной $b$ равен отношению противолежащей стороны $a$ к прилежащей стороне $b$:
$\tan \beta = \frac{a}{b} = \frac{35}{12}$.

Ответ:

Тангенсы углов, образованных диагональю прямоугольника с его сторонами, равны $\frac{12}{35}$ и $\frac{35}{12}$.

г)

Дано:

Расстояние от пункта $X$ до пункта $A$: $XA = 3$ км.
Угол $\angle HAX = 65^\circ$ (угол между гипотенузой $XA$ и горизонталью $HA$, где $XH$ - искомая высота).
Треугольник $XHA$ - прямоугольный, с прямым углом $\angle H = 90^\circ$.

Перевод в СИ:

$XA = 3$ км. (Перевод в метры не требуется, так как ответ просят в км).
$\angle HAX = 65^\circ$.

Найти:

Высота $XH$ над уровнем моря.

Решение:

В прямоугольном треугольнике $XHA$, где $XH$ является катетом, противолежащим углу $\angle HAX$, а $XA$ является гипотенузой, используем определение синуса:
$\sin(\angle HAX) = \frac{\text{противолежащий катет}}{\text{гипотенуза}} = \frac{XH}{XA}$.
Выразим $XH$:
$XH = XA \cdot \sin(\angle HAX)$.
$XH = 3 \text{ км} \cdot \sin(65^\circ)$.
Используя калькулятор, $\sin(65^\circ) \approx 0.906307787$.
$XH \approx 3 \cdot 0.906307787 \approx 2.71892336$ км.
Округляем результат до 0.1 км:
$XH \approx 2.7$ км.

Ответ:

Высота $XH$ над уровнем моря составляет $2.7$ км.