Номер 166, страница 87 - гдз по геометрии 8 класс учебник Солтан, Солтан

166. Докажите, что хорда окружности есть среднее пропорциональное между диаметром, проведенным из ее конца, и проекцией этой хорды на диаметр.

Дано:

Окружность.

Хорда $AB$ этой окружности.

Диаметр $AD$, проведенный через один из концов хорды (точку $A$).

Точка $C'$ является проекцией точки $B$ на диаметр $AD$. Таким образом, отрезок $AC'$ представляет собой проекцию хорды $AB$ на диаметр $AD$.

Доказать:

Хорда $AB$ является средним пропорциональным между диаметром $AD$ и ее проекцией $AC'$ на этот диаметр.

То есть, необходимо доказать, что $AB = \sqrt{AD \cdot AC'}$, или, что эквивалентно, $AB^2 = AD \cdot AC'$.

Доказательство:

1. Рассмотрим треугольник $ABD$. Все его вершины ($A$, $B$, $D$) лежат на окружности.

2. Сторона $AD$ является диаметром окружности. Угол $\angle ABD$ является вписанным углом, опирающимся на диаметр $AD$.

3. Известно, что любой вписанный угол, опирающийся на диаметр окружности, равен $90^\circ$. Следовательно, $\angle ABD = 90^\circ$. Это означает, что треугольник $ABD$ является прямоугольным с прямым углом при вершине $B$.

4. Проведем из вершины $B$ прямого угла перпендикуляр к гипотенузе $AD$. Основание этого перпендикуляра обозначим как $C'$. Таким образом, $BC'$ является высотой, опущенной из вершины прямого угла $B$ на гипотенузу $AD$.

5. Отрезок $AC'$ — это проекция катета $AB$ на гипотенузу $AD$ в прямоугольном треугольнике $ABD$.

6. Согласно метрическим соотношениям в прямоугольном треугольнике, квадрат катета равен произведению гипотенузы на проекцию этого катета на гипотенузу.

7. Применяя это свойство к прямоугольному треугольнику $ABD$, где $AB$ — катет, $AD$ — гипотенуза, а $AC'$ — проекция катета $AB$ на гипотенузу $AD$, получаем:

$\qquad AB^2 = AD \cdot AC'$

8. Извлекая квадратный корень из обеих частей равенства (поскольку длины отрезков положительны), получаем:

$\qquad AB = \sqrt{AD \cdot AC'}$

Это равенство означает, что хорда $AB$ является средним пропорциональным между диаметром $AD$ и ее проекцией $AC'$ на этот диаметр.

Ответ:

Доказано, что хорда окружности является средним пропорциональным между диаметром, проведенным из ее конца, и проекцией этой хорды на диаметр, что следует из свойств прямоугольного треугольника, образованного хордой, диаметром и перпендикуляром, опущенным из другого конца хорды на диаметр.