Номер 172, страница 91 - гдз по геометрии 8 класс учебник Солтан, Солтан

172. a) В остроугольном треугольнике синус одного острого угла равен $\frac{\sqrt{2}}{2}$, синус другого $-\frac{\sqrt{3}}{2}$. Найдите третий угол.

б) В равнобедренном треугольнике угол между боковыми сторонами равен 20°. Верно ли, что синус угла при основании этого треугольника больше $\frac{\sqrt{3}}{2}$?

a)

Дано:

Остроугольный треугольник с углами $\alpha$, $\beta$, $\gamma$.

$\sin \alpha = \frac{\sqrt{2}}{2}$

$\sin \beta = \frac{\sqrt{3}}{2}$

Найти:

$\gamma$

Решение:

Поскольку треугольник остроугольный, все его углы должны быть меньше $90^\circ$.

Найдем значения углов $\alpha$ и $\beta$ по их синусам:

Для $\sin \alpha = \frac{\sqrt{2}}{2}$, острым углом является $\alpha = 45^\circ$. Этот угол меньше $90^\circ$, что соответствует условию остроугольного треугольника.

Для $\sin \beta = \frac{\sqrt{3}}{2}$, острым углом является $\beta = 60^\circ$. Этот угол меньше $90^\circ$, что также соответствует условию остроугольного треугольника.

Сумма углов в любом треугольнике равна $180^\circ$. Следовательно, $\alpha + \beta + \gamma = 180^\circ$.

Вычислим третий угол $\gamma$:

$\gamma = 180^\circ - \alpha - \beta$

$\gamma = 180^\circ - 45^\circ - 60^\circ$

$\gamma = 180^\circ - 105^\circ$

$\gamma = 75^\circ$

Проверим, является ли третий угол острым: $75^\circ < 90^\circ$. Условие остроугольного треугольника соблюдается.

Ответ: $75^\circ$

б)

Дано:

Равнобедренный треугольник.

Угол между боковыми сторонами (угол при вершине) $\alpha = 20^\circ$.

Найти:

Верно ли, что синус угла при основании этого треугольника больше $\frac{\sqrt{3}}{2}$?

Решение:

В равнобедренном треугольнике углы при основании равны. Обозначим каждый из них как $\beta$.

Сумма углов в треугольнике равна $180^\circ$. Таким образом, $\alpha + \beta + \beta = 180^\circ$, что можно записать как $\alpha + 2\beta = 180^\circ$.

Подставим известное значение угла при вершине $\alpha = 20^\circ$:

$20^\circ + 2\beta = 180^\circ$

$2\beta = 180^\circ - 20^\circ$

$2\beta = 160^\circ$

$\beta = \frac{160^\circ}{2}$

$\beta = 80^\circ$

Теперь вычислим синус угла при основании, то есть $\sin \beta = \sin 80^\circ$.

Нам нужно сравнить $\sin 80^\circ$ с $\frac{\sqrt{3}}{2}$.

Мы знаем, что $\frac{\sqrt{3}}{2}$ является значением синуса для угла $60^\circ$, то есть $\frac{\sqrt{3}}{2} = \sin 60^\circ$.

Поскольку функция синуса возрастает на интервале углов от $0^\circ$ до $90^\circ$, то чем больше угол в этом диапазоне, тем больше его синус.

Так как $80^\circ > 60^\circ$, то $\sin 80^\circ > \sin 60^\circ$.

Следовательно, $\sin 80^\circ > \frac{\sqrt{3}}{2}$.

Утверждение "синус угла при основании этого треугольника больше $\frac{\sqrt{3}}{2}$" верно.

Ответ: Да, верно.