Номер 178, страница 92 - гдз по геометрии 8 класс учебник Солтан, Солтан

178. Верно ли, что значение $\sin^2 45^\circ$ равно среднему арифметическому значению:

a) $\cos^2 30^\circ$ и $\cos^2 60^\circ$;

б) $\sin^2 30^\circ$ и $\sin^2 60^\circ$?

Дано:

Значения тригонометрических функций для специальных углов:

• $\sin 45^\circ = \frac{\sqrt{2}}{2}$
• $\cos 30^\circ = \frac{\sqrt{3}}{2}$
• $\cos 60^\circ = \frac{1}{2}$
• $\sin 30^\circ = \frac{1}{2}$
• $\sin 60^\circ = \frac{\sqrt{3}}{2}$

Найти:

Проверить, равно ли значение $\sin^2 45^\circ$ среднему арифметическому значению:

• а) $\cos^2 30^\circ$ и $\cos^2 60^\circ$
• б) $\sin^2 30^\circ$ и $\sin^2 60^\circ$

Решение:

Сначала вычислим значение $\sin^2 45^\circ$:

$\sin^2 45^\circ = \left(\frac{\sqrt{2}}{2}\right)^2 = \frac{(\sqrt{2})^2}{2^2} = \frac{2}{4} = \frac{1}{2}$

а) $\cos^2 30^\circ$ и $\cos^2 60^\circ$

Вычислим значения $\cos^2 30^\circ$ и $\cos^2 60^\circ$:

$\cos^2 30^\circ = \left(\frac{\sqrt{3}}{2}\right)^2 = \frac{(\sqrt{3})^2}{2^2} = \frac{3}{4}$

$\cos^2 60^\circ = \left(\frac{1}{2}\right)^2 = \frac{1^2}{2^2} = \frac{1}{4}$

Теперь найдем среднее арифметическое этих значений:

Среднее арифметическое $= \frac{\cos^2 30^\circ + \cos^2 60^\circ}{2} = \frac{\frac{3}{4} + \frac{1}{4}}{2} = \frac{\frac{4}{4}}{2} = \frac{1}{2}$

Сравним полученное среднее арифметическое значение со значением $\sin^2 45^\circ$:

$\frac{1}{2} = \frac{1}{2}$

Так как значения равны, утверждение верно.

Ответ: Верно

б) $\sin^2 30^\circ$ и $\sin^2 60^\circ$

Вычислим значения $\sin^2 30^\circ$ и $\sin^2 60^\circ$:

$\sin^2 30^\circ = \left(\frac{1}{2}\right)^2 = \frac{1^2}{2^2} = \frac{1}{4}$

$\sin^2 60^\circ = \left(\frac{\sqrt{3}}{2}\right)^2 = \frac{(\sqrt{3})^2}{2^2} = \frac{3}{4}$

Теперь найдем среднее арифметическое этих значений:

Среднее арифметическое $= \frac{\sin^2 30^\circ + \sin^2 60^\circ}{2} = \frac{\frac{1}{4} + \frac{3}{4}}{2} = \frac{\frac{4}{4}}{2} = \frac{1}{2}$

Сравним полученное среднее арифметическое значение со значением $\sin^2 45^\circ$:

$\frac{1}{2} = \frac{1}{2}$

Так как значения равны, утверждение верно.

Ответ: Верно