Вопросы, страница 94 - гдз по геометрии 8 класс учебник Солтан, Солтан

1. Какое равенство называют основным тригонометрическим тождеством? Докажите это тождество.

2. Докажите, что для любого острого угла $\alpha$ верно равенство $1 + \text{ctg}^2 \alpha = \frac{1}{\sin^2 \alpha}$.

1. Какое равенство называют основным тригонометрическим тождеством? Докажите это тождество.

Дано: Острый угол $\alpha$.

Найти: Определить основное тригонометрическое тождество и доказать его.

Решение:

Основным тригонометрическим тождеством называют равенство, связывающее синус и косинус одного и того же угла:

$\sin^2 \alpha + \cos^2 \alpha = 1$

Доказательство:

Рассмотрим прямоугольный треугольник с острым углом $\alpha$. Пусть катет, лежащий напротив угла $\alpha$, имеет длину $a$, прилежащий катет — длину $b$, а гипотенуза — длину $c$.

По определению синуса и косинуса острого угла в прямоугольном треугольнике:

$\sin \alpha = \frac{a}{c}$

$\cos \alpha = \frac{b}{c}$

Возведем обе части этих равенств в квадрат:

$\sin^2 \alpha = \left(\frac{a}{c}\right)^2 = \frac{a^2}{c^2}$

$\cos^2 \alpha = \left(\frac{b}{c}\right)^2 = \frac{b^2}{c^2}$

Сложим полученные выражения:

$\sin^2 \alpha + \cos^2 \alpha = \frac{a^2}{c^2} + \frac{b^2}{c^2} = \frac{a^2 + b^2}{c^2}$

Согласно теореме Пифагора для прямоугольного треугольника, сумма квадратов катетов равна квадрату гипотенузы: $a^2 + b^2 = c^2$.

Подставим это соотношение в числитель дроби:

$\frac{a^2 + b^2}{c^2} = \frac{c^2}{c^2} = 1$

Таким образом, получаем:

$\sin^2 \alpha + \cos^2 \alpha = 1$

Тождество доказано.

Ответ: Основным тригонометрическим тождеством является равенство $\sin^2 \alpha + \cos^2 \alpha = 1$.

2. Докажите, что для любого острого угла $\alpha$ верно равенство $1 + \text{ctg}^2 \alpha = \frac{1}{\sin^2 \alpha}$.

Дано: Острый угол $\alpha$.

Найти: Доказать равенство $1 + \text{ctg}^2 \alpha = \frac{1}{\sin^2 \alpha}$.

Решение:

Для доказательства данного равенства, начнем с левой части и преобразуем ее, используя определение котангенса и основное тригонометрическое тождество.

Котангенс угла $\alpha$ определяется как отношение косинуса угла $\alpha$ к синусу угла $\alpha$:

$\text{ctg} \alpha = \frac{\cos \alpha}{\sin \alpha}$

Тогда квадрат котангенса будет:

$\text{ctg}^2 \alpha = \left(\frac{\cos \alpha}{\sin \alpha}\right)^2 = \frac{\cos^2 \alpha}{\sin^2 \alpha}$

Подставим это выражение в левую часть доказываемого равенства ($1 + \text{ctg}^2 \alpha$):

$1 + \text{ctg}^2 \alpha = 1 + \frac{\cos^2 \alpha}{\sin^2 \alpha}$

Чтобы сложить эти слагаемые, приведем 1 к общему знаменателю $\sin^2 \alpha$:

$1 + \frac{\cos^2 \alpha}{\sin^2 \alpha} = \frac{\sin^2 \alpha}{\sin^2 \alpha} + \frac{\cos^2 \alpha}{\sin^2 \alpha}$

Теперь объединим дроби с общим знаменателем:

$\frac{\sin^2 \alpha + \cos^2 \alpha}{\sin^2 \alpha}$

Известно, что основное тригонометрическое тождество гласит: $\sin^2 \alpha + \cos^2 \alpha = 1$.

Подставим 1 вместо числителя:

$\frac{1}{\sin^2 \alpha}$

Таким образом, мы преобразовали левую часть равенства к правой части:

$1 + \text{ctg}^2 \alpha = \frac{1}{\sin^2 \alpha}$

Равенство доказано.

Ответ: Равенство $1 + \text{ctg}^2 \alpha = \frac{1}{\sin^2 \alpha}$ доказано.