Номер 189, страница 94 - гдз по геометрии 8 класс учебник Солтан, Солтан

189. Найдите произведение длин катетов прямоугольного треугольника, если даны его гипотенуза c и сумма d синусов острых углов.

Дано:

Прямоугольный треугольник.

Гипотенуза: $c$

Сумма синусов острых углов: $d$

Перевод в СИ: Все величины уже в общих обозначениях и не требуют перевода в конкретные единицы СИ, так как ответ будет выражен через эти же обозначения.

Найти:

Произведение длин катетов.

Решение:

Пусть длины катетов прямоугольного треугольника будут $a$ и $b$, а острые углы, противолежащие этим катетам, будут $\alpha$ и $\beta$ соответственно. Гипотенуза равна $c$.

По определению синуса в прямоугольном треугольнике:

$\sin \alpha = \frac{a}{c}$

$\sin \beta = \frac{b}{c}$

По условию задачи, сумма синусов острых углов равна $d$:

$\sin \alpha + \sin \beta = d$

Подставим выражения для синусов:

$\frac{a}{c} + \frac{b}{c} = d$

Приведем к общему знаменателю:

$\frac{a+b}{c} = d$

Выразим сумму катетов:

$a+b = cd$

Для того чтобы найти произведение катетов $ab$, возведем обе части этого уравнения в квадрат:

$(a+b)^2 = (cd)^2$

$a^2 + 2ab + b^2 = c^2 d^2$

По теореме Пифагора для прямоугольного треугольника $a^2 + b^2 = c^2$. Подставим это в наше уравнение:

$c^2 + 2ab = c^2 d^2$

Теперь выразим $2ab$:

$2ab = c^2 d^2 - c^2$

Вынесем $c^2$ за скобки:

$2ab = c^2 (d^2 - 1)$

Наконец, найдем произведение катетов $ab$:

$ab = \frac{c^2 (d^2 - 1)}{2}$

Для того чтобы задача имела решение, необходимо, чтобы $ab > 0$. Поскольку $c^2$ всегда положительно (длина гипотенузы не равна нулю), то должно быть $d^2 - 1 > 0$, что означает $d^2 > 1$. Так как $d$ является суммой синусов острых углов, $d > 0$. Таким образом, $d > 1$. Также, поскольку синус любого острого угла меньше 1, сумма двух синусов острых углов будет меньше 2, то есть $d < 2$. Следовательно, для существования такого треугольника должно выполняться условие $1 < d < 2$.

Ответ:

Произведение длин катетов равно $\frac{c^2 (d^2 - 1)}{2}$.