Номер 183, страница 94 - гдз по геометрии 8 класс учебник Солтан, Солтан

183. Найдите:
a) синус и тангенс острого угла, косинус которого равен $\frac{12}{13}$;
б) косинус и тангенс острого угла, синус которого равен 0,6.

Дано:
а) $\cos \alpha = \frac{12}{13}$
б) $\sin \alpha = 0.6$

Найти:
а) $\sin \alpha$, $\tan \alpha$
б) $\cos \alpha$, $\tan \alpha$

Решение:

а) синус и тангенс острого угла, косинус которого равен $\frac{12}{13}$:
для нахождения синуса острого угла, зная его косинус, используем основное тригонометрическое тождество:
$\sin^2 \alpha + \cos^2 \alpha = 1$
поскольку угол $\alpha$ острый ($0^\circ < \alpha < 90^\circ$), то значение синуса должно быть положительным ($\sin \alpha > 0$).
выразим $\sin^2 \alpha$:
$\sin^2 \alpha = 1 - \cos^2 \alpha$
подставим известное значение косинуса:
$\sin^2 \alpha = 1 - \left(\frac{12}{13}\right)^2$
$\sin^2 \alpha = 1 - \frac{144}{169}$
приведем к общему знаменателю:
$\sin^2 \alpha = \frac{169}{169} - \frac{144}{169}$
$\sin^2 \alpha = \frac{169 - 144}{169}$
$\sin^2 \alpha = \frac{25}{169}$
теперь найдем $\sin \alpha$, извлекая квадратный корень (и учитывая, что $\sin \alpha > 0$):
$\sin \alpha = \sqrt{\frac{25}{169}}$
$\sin \alpha = \frac{5}{13}$
для нахождения тангенса острого угла используем определение тангенса:
$\tan \alpha = \frac{\sin \alpha}{\cos \alpha}$
подставим найденные значения синуса и косинуса:
$\tan \alpha = \frac{5/13}{12/13}$
сократим знаменатели:
$\tan \alpha = \frac{5}{12}$

Ответ: $\sin \alpha = \frac{5}{13}$, $\tan \alpha = \frac{5}{12}$

б) косинус и тангенс острого угла, синус которого равен 0,6:
сначала переведем десятичную дробь $0.6$ в обыкновенную: $0.6 = \frac{6}{10} = \frac{3}{5}$.
для нахождения косинуса острого угла, зная его синус, используем основное тригонометрическое тождество:
$\sin^2 \alpha + \cos^2 \alpha = 1$
поскольку угол $\alpha$ острый ($0^\circ < \alpha < 90^\circ$), то значение косинуса должно быть положительным ($\cos \alpha > 0$).
выразим $\cos^2 \alpha$:
$\cos^2 \alpha = 1 - \sin^2 \alpha$
подставим известное значение синуса:
$\cos^2 \alpha = 1 - \left(\frac{3}{5}\right)^2$
$\cos^2 \alpha = 1 - \frac{9}{25}$
приведем к общему знаменателю:
$\cos^2 \alpha = \frac{25}{25} - \frac{9}{25}$
$\cos^2 \alpha = \frac{25 - 9}{25}$
$\cos^2 \alpha = \frac{16}{25}$
теперь найдем $\cos \alpha$, извлекая квадратный корень (и учитывая, что $\cos \alpha > 0$):
$\cos \alpha = \sqrt{\frac{16}{25}}$
$\cos \alpha = \frac{4}{5}$
для нахождения тангенса острого угла используем определение тангенса:
$\tan \alpha = \frac{\sin \alpha}{\cos \alpha}$
подставим найденные значения синуса и косинуса:
$\tan \alpha = \frac{3/5}{4/5}$
сократим знаменатели:
$\tan \alpha = \frac{3}{4}$

Ответ: $\cos \alpha = \frac{4}{5}$, $\tan \alpha = \frac{3}{4}$