Вопросы, страница 97 - гдз по геометрии 8 класс учебник Солтан, Солтан

1. Как выражается катет прямоугольного треугольника через гипотенузу и острый угол, через острый угол и другой катет?

2. Какие задачи называют задачами на решение прямоугольного треугольника? Приведите примеры.

1. Как выражается катет прямоугольного треугольника через гипотенузу и острый угол, через острый угол и другой катет?

Пусть в прямоугольном треугольнике катеты обозначены как $a$ и $b$, гипотенуза как $c$. Пусть острый угол, противолежащий катету $a$, равен $\alpha$, а острый угол, противолежащий катету $b$, равен $\beta$. Тогда угол $\alpha$ прилежит к катету $b$, а угол $\beta$ прилежит к катету $a$.

Выражение катета через гипотенузу и острый угол:
Если известен острый угол $\alpha$ и гипотенуза $c$:
Катет, противолежащий углу $\alpha$ ($a$), выражается как произведение гипотенузы на синус этого угла: $a = c \sin \alpha$.
Катет, прилежащий к углу $\alpha$ ($b$), выражается как произведение гипотенузы на косинус этого угла: $b = c \cos \alpha$.

Выражение катета через острый угол и другой катет:
Если известен острый угол $\alpha$ и другой катет $b$:
Катет, противолежащий углу $\alpha$ ($a$), выражается как произведение другого катета на тангенс этого угла: $a = b \tan \alpha$.
Если известен острый угол $\alpha$ и другой катет $a$:
Катет, прилежащий к углу $\alpha$ ($b$), выражается как произведение другого катета на котангенс этого угла (или отношение другого катета к тангенсу этого угла): $b = a \cot \alpha$ или $b = a / \tan \alpha$.
(Используя угол $\beta$: катет $b$ (противолежащий $\beta$) выражается как $a \tan \beta$; катет $a$ (прилежащий к $\beta$) выражается как $b \cot \beta$).

Ответ:

Катет, противолежащий острому углу $\alpha$, выражается как $c \sin \alpha$ или $b \tan \alpha$. Катет, прилежащий к острому углу $\alpha$, выражается как $c \cos \alpha$ или $a \cot \alpha$ (где $a$ - противолежащий катет).

2. Какие задачи называют задачами на решение прямоугольного треугольника? Приведите примеры.

Задачи на решение прямоугольного треугольника — это задачи, в которых по заданным двум элементам (сторонам или углу, причем хотя бы один из них должен быть стороной) требуется найти остальные неизвестные элементы прямоугольного треугольника (длины всех сторон и величины всех острых углов). Всего в прямоугольном треугольнике 6 элементов: 3 стороны и 3 угла (один из которых всегда равен $90^\circ$).

Прямоугольный треугольник может быть решен, если известны:
1. Два катета;
2. Катет и гипотенуза;
3. Катет и острый угол;
4. Гипотенуза и острый угол.

Примеры:

Пример 1: Даны два катета.
Дано: Катеты прямоугольного треугольника $a = 6$ см, $b = 8$ см.
Найти: Гипотенузу $c$, острые углы $\alpha$ (противолежащий катету $a$) и $\beta$ (противолежащий катету $b$).
Решение:
1. Найдем гипотенузу $c$ по теореме Пифагора: $c = \sqrt{a^2 + b^2} = \sqrt{6^2 + 8^2} = \sqrt{36 + 64} = \sqrt{100} = 10$ см.
2. Найдем острые углы с помощью тригонометрических функций:
$\tan \alpha = \frac{a}{b} = \frac{6}{8} = 0.75$. Отсюда $\alpha = \arctan(0.75) \approx 36.87^\circ$.
$\beta = 90^\circ - \alpha \approx 90^\circ - 36.87^\circ = 53.13^\circ$.
Ответ: Гипотенуза $c = 10$ см; острые углы $\alpha \approx 36.87^\circ$, $\beta \approx 53.13^\circ$.

Пример 2: Даны гипотенуза и острый угол.
Дано: Гипотенуза $c = 15$ см, острый угол $\alpha = 30^\circ$.
Найти: Катеты $a$ (противолежащий углу $\alpha$) и $b$ (прилежащий к углу $\alpha$), острый угол $\beta$.
Решение:
1. Найдем острый угол $\beta$: $\beta = 90^\circ - \alpha = 90^\circ - 30^\circ = 60^\circ$.
2. Найдем катеты, используя синус и косинус:
$a = c \sin \alpha = 15 \sin 30^\circ = 15 \cdot 0.5 = 7.5$ см.
$b = c \cos \alpha = 15 \cos 30^\circ = 15 \cdot \frac{\sqrt{3}}{2} \approx 15 \cdot 0.866 = 12.99$ см.
Ответ: Катет $a = 7.5$ см; катет $b \approx 12.99$ см; острый угол $\beta = 60^\circ$.