Номер 191, страница 98 - гдз по геометрии 8 класс учебник Солтан, Солтан

191.

a) В прямоугольном треугольнике ABC гипотенуза $AB = 82$ см и $\angle A = 36^\circ$. Найдите с точностью до $0,1$ см катеты этого треугольника.

б) Даны катет $BC = 25$ см прямоугольного треугольника ABC и $\angle A = 32^\circ$. Найдите с точностью до $0,1$ см гипотенузу и второй катет этого треугольника.

a)

Дано:
Прямоугольный треугольник $ABC$ ($\angle C = 90^\circ$)

Гипотенуза $AB = 82$ см

Угол $\angle A = 36^\circ$

Перевод в СИ:

$AB = 82 \text{ см} = 0.82 \text{ м}$

$\angle A = 36^\circ$

Найти:

Катеты $BC$ и $AC$

Решение:

В прямоугольном треугольнике $ABC$ (с прямым углом $C$) синус угла $A$ равен отношению противолежащего катета $BC$ к гипотенузе $AB$. Косинус угла $A$ равен отношению прилежащего катета $AC$ к гипотенузе $AB$.

Тогда:

$BC = AB \cdot \sin(\angle A)$

$AC = AB \cdot \cos(\angle A)$

Подставим известные значения:

$BC = 82 \cdot \sin(36^\circ) \approx 82 \cdot 0.587785 \approx 48.19837$

$AC = 82 \cdot \cos(36^\circ) \approx 82 \cdot 0.809017 \approx 66.339394$

Округлим результаты до 0,1 см:

$BC \approx 48.2$ см

$AC \approx 66.3$ см

Ответ: Катеты равны примерно $48.2$ см и $66.3$ см.

б)

Дано:
Прямоугольный треугольник $ABC$ ($\angle C = 90^\circ$)

Катет $BC = 25$ см

Угол $\angle A = 32^\circ$

Перевод в СИ:

$BC = 25 \text{ см} = 0.25 \text{ м}$

$\angle A = 32^\circ$

Найти:

Гипотенуза $AB$ и катет $AC$

Решение:

В прямоугольном треугольнике $ABC$ (с прямым углом $C$) синус угла $A$ равен отношению противолежащего катета $BC$ к гипотенузе $AB$. Тангенс угла $A$ равен отношению противолежащего катета $BC$ к прилежащему катету $AC$.

Тогда:

Из $\sin(\angle A) = \frac{BC}{AB}$, выразим $AB$: $AB = \frac{BC}{\sin(\angle A)}$

Из $\tan(\angle A) = \frac{BC}{AC}$, выразим $AC$: $AC = \frac{BC}{\tan(\angle A)}$

Подставим известные значения:

$AB = \frac{25}{\sin(32^\circ)} \approx \frac{25}{0.529919} \approx 47.1859$

$AC = \frac{25}{\tan(32^\circ)} \approx \frac{25}{0.624869} \approx 40.0101$

Округлим результаты до 0,1 см:

$AB \approx 47.2$ см

$AC \approx 40.0$ см

Ответ: Гипотенуза равна примерно $47.2$ см, а второй катет равен примерно $40.0$ см.