Номер 197, страница 99 - гдз по геометрии 8 класс учебник Солтан, Солтан

197. a) Из вершины прямого угла прямоугольного треугольника проведены его высота и медиана, равные соответственно 12 см и 15 см. Найдите стороны и синусы острых углов этого треугольника.

б) В прямоугольном треугольнике $ACB$ $\angle C = 90^\circ$, катет $AC = 4$ дм, $\angle BAC = 70^\circ$, $D \in BC$, причем $\angle DAC = 50^\circ$. Найдите с точностью до 1 см расстояние $BD$.

в) Представьте, что в условии задачи б) $D$ – это вершина холма, а $DB$ – маяк. Как найти высоту маяка, если расстояние $AC$ и углы $CAD$ и $CAB$ можно измерить? Найдите $DB$ с точностью до 1 м, если $AC = 100$ м, $\angle CAD = 40^\circ$, $\angle CAB = 80^\circ$.

Дано:
Прямоугольный треугольник $ABC$ с прямым углом при вершине $C$.
Высота $CH = h = 12$ см.
Медиана $CM = m = 15$ см (медиана к гипотенузе $AB$).
Перевод в СИ:
$h = 12$ см $= 0.12$ м
$m = 15$ см $= 0.15$ м
Найти:
Стороны треугольника $AC, BC, AB$.
Синусы острых углов $\sin(\angle A), \sin(\angle B)$.
Решение:
В прямоугольном треугольнике медиана, проведенная к гипотенузе, равна половине гипотенузы. Следовательно, гипотенуза $AB = 2 \cdot CM = 2 \cdot 15$ см $= 30$ см.
Площадь прямоугольного треугольника может быть выражена как полупроизведение катетов или полупроизведение гипотенузы на высоту, проведенную к ней. Пусть катеты будут $a = BC$ и $b = AC$.
$S = \frac{1}{2} \cdot AC \cdot BC = \frac{1}{2} \cdot AB \cdot CH$
$AC \cdot BC = AB \cdot CH$
$ab = 30 \text{ см} \cdot 12 \text{ см} = 360 \text{ см}^2$.
По теореме Пифагора:
$AC^2 + BC^2 = AB^2$
$b^2 + a^2 = (30 \text{ см})^2 = 900 \text{ см}^2$.
Получим систему уравнений для катетов $a$ и $b$:
1) $ab = 360$
2) $a^2 + b^2 = 900$
Используем тождества $(a+b)^2 = a^2 + b^2 + 2ab$ и $(a-b)^2 = a^2 + b^2 - 2ab$.
$(a+b)^2 = 900 + 2 \cdot 360 = 900 + 720 = 1620$
$a+b = \sqrt{1620} = \sqrt{324 \cdot 5} = 18\sqrt{5}$ см.
$(a-b)^2 = 900 - 2 \cdot 360 = 900 - 720 = 180$
$a-b = \sqrt{180} = \sqrt{36 \cdot 5} = 6\sqrt{5}$ см.
Решая систему линейных уравнений:
$a+b = 18\sqrt{5}$
$a-b = 6\sqrt{5}$
Сложим уравнения: $2a = 24\sqrt{5} \Rightarrow a = 12\sqrt{5}$ см ($BC$).
Вычтем второе из первого: $2b = 12\sqrt{5} \Rightarrow b = 6\sqrt{5}$ см ($AC$).
Таким образом, стороны треугольника: $AB = 30$ см, $AC = 6\sqrt{5}$ см, $BC = 12\sqrt{5}$ см.
Синусы острых углов: в прямоугольном треугольнике синус острого угла равен отношению противолежащего катета к гипотенузе.
$\sin(\angle A) = \frac{BC}{AB} = \frac{12\sqrt{5}}{30} = \frac{2\sqrt{5}}{5}$.
$\sin(\angle B) = \frac{AC}{AB} = \frac{6\sqrt{5}}{30} = \frac{\sqrt{5}}{5}$.
Ответ: Стороны треугольника: $30$ см, $6\sqrt{5}$ см, $12\sqrt{5}$ см. Синусы острых углов: $\frac{2\sqrt{5}}{5}$ и $\frac{\sqrt{5}}{5}$.

Дано:
Прямоугольный треугольник $ACB$.
$\angle C = 90^\circ$.
Катет $AC = 4$ дм.
$\angle BAC = 70^\circ$.
Точка $D \in BC$.
$\angle DAC = 50^\circ$.
Перевод в СИ:
$AC = 4$ дм $= 0.4$ м $= 40$ см.
Найти:
Расстояние $BD$ (с точностью до 1 см).
Решение:
Рассмотрим прямоугольный треугольник $ACB$. Катет $BC$ можно найти по формуле тангенса:
$BC = AC \cdot \tan(\angle BAC)$.
$BC = 4 \text{ дм} \cdot \tan(70^\circ)$.
Рассмотрим прямоугольный треугольник $ADC$. Катет $DC$ можно найти аналогично:
$DC = AC \cdot \tan(\angle DAC)$.
$DC = 4 \text{ дм} \cdot \tan(50^\circ)$.
Расстояние $BD$ равно разности длин отрезков $BC$ и $DC$ (так как $D$ лежит между $B$ и $C$):
$BD = BC - DC = AC \cdot \tan(70^\circ) - AC \cdot \tan(50^\circ) = AC \cdot (\tan(70^\circ) - \tan(50^\circ))$.
Подставим значения и произведем вычисления:
$\tan(70^\circ) \approx 2.7475$
$\tan(50^\circ) \approx 1.1918$
$BD \approx 4 \text{ дм} \cdot (2.7475 - 1.1918) = 4 \text{ дм} \cdot 1.5557 = 6.2228$ дм.
Переведем в сантиметры и округлим до 1 см:
$BD \approx 6.2228 \cdot 10 \text{ см} = 62.228 \text{ см} \approx 62$ см.
Ответ: $BD \approx 62$ см.

Дано:
Прямоугольный треугольник $ACB$ с прямым углом $C$.
Расстояние $AC = 100$ м.
Угол $\angle CAB = 80^\circ$.
Угол $\angle CAD = 40^\circ$.
Перевод в СИ:
Все значения даны в системе СИ.
Найти:
Высоту маяка $DB$ (с точностью до 1 м).
Решение:
Задача аналогична пункту б). $AC$ - горизонтальное расстояние от наблюдателя до основания холма. $CD$ - высота холма. $DB$ - высота маяка. $CB$ - общая высота холма с маяком.
В прямоугольном треугольнике $ACB$ (гипотенуза $AB$, прямой угол $C$):
$BC = AC \cdot \tan(\angle CAB)$.
В прямоугольном треугольнике $ADC$ (гипотенуза $AD$, прямой угол $C$):
$CD = AC \cdot \tan(\angle CAD)$.
Высота маяка $DB$ равна разности $BC$ и $CD$:
$DB = BC - CD = AC \cdot \tan(\angle CAB) - AC \cdot \tan(\angle CAD) = AC \cdot (\tan(\angle CAB) - \tan(\angle CAD))$.
Подставим заданные значения:
$AC = 100$ м.
$\tan(80^\circ) \approx 5.6713$
$\tan(40^\circ) \approx 0.8391$
$DB = 100 \text{ м} \cdot (5.6713 - 0.8391) = 100 \text{ м} \cdot 4.8322 = 483.22$ м.
Округляем до 1 метра:
$DB \approx 483$ м.
Ответ: Высота маяка $DB \approx 483$ м.