Номер 199, страница 99 - гдз по геометрии 8 класс учебник Солтан, Солтан

199. Найдите с точностью до $1^\circ$ углы трапеции, основания которой равны 12 см и 54 см, а боковые стороны – 26 см и 40 см.

Дано:

Основания трапеции: $a_1 = 12$ см, $a_2 = 54$ см.

Боковые стороны: $b_1 = 26$ см, $b_2 = 40$ см.

Перевод в СИ:

$a_1 = 12 \text{ см} = 0.12 \text{ м}$

$a_2 = 54 \text{ см} = 0.54 \text{ м}$

$b_1 = 26 \text{ см} = 0.26 \text{ м}$

$b_2 = 40 \text{ см} = 0.40 \text{ м}$

Найти:

Углы трапеции ($\angle A, \angle B, \angle C, \angle D$).

Решение:

Пусть дана трапеция ABCD с основаниями AB и DC, где AB || DC. Длина меньшего основания AB = 12 см, а большего DC = 54 см. Длины боковых сторон AD = 26 см и BC = 40 см.

Опустим высоты AM и BN из вершин A и B соответственно на основание DC. Поскольку AM и BN перпендикулярны DC и AB || DC, четырехугольник AMNB является прямоугольником. Отсюда следует, что MN = AB = 12 см, а AM = BN = h, где h – высота трапеции.

Обозначим отрезки DM = x и NC = y. Тогда сумма длин этих отрезков и MN равна длине основания DC:

$DM + MN + NC = DC$

$x + 12 + y = 54$

Отсюда получаем: $x + y = 54 - 12 = 42$ см.

Рассмотрим два прямоугольных треугольника, образованных высотами: $\triangle ADM$ и $\triangle BCN$.

В $\triangle ADM$ по теореме Пифагора имеем: $AD^2 = AM^2 + DM^2$.

$26^2 = h^2 + x^2$

Отсюда выражение для квадрата высоты: $h^2 = 26^2 - x^2 = 676 - x^2$.

В $\triangle BCN$ по теореме Пифагора имеем: $BC^2 = BN^2 + NC^2$.

$40^2 = h^2 + y^2$

Отсюда выражение для квадрата высоты: $h^2 = 40^2 - y^2 = 1600 - y^2$.

Приравняем два выражения для $h^2$:

$676 - x^2 = 1600 - y^2$

Теперь у нас есть система из двух уравнений с двумя неизвестными x и y:

1) $x + y = 42$

2) $676 - x^2 = 1600 - y^2$

Из первого уравнения выразим $y = 42 - x$. Подставим это выражение во второе уравнение:

$676 - x^2 = 1600 - (42 - x)^2$

Раскроем скобки в правой части, используя формулу квадрата разности $(a-b)^2 = a^2 - 2ab + b^2$:

$676 - x^2 = 1600 - (42^2 - 2 \cdot 42 \cdot x + x^2)$

$676 - x^2 = 1600 - (1764 - 84x + x^2)$

$676 - x^2 = 1600 - 1764 + 84x - x^2$

Сократим $-x^2$ с обеих сторон уравнения:

$676 = 1600 - 1764 + 84x$

$676 = -164 + 84x$

Перенесем -164 в левую часть:

$676 + 164 = 84x$

$840 = 84x$

Найдем x:

$x = \frac{840}{84} = 10$ см.

Теперь найдем y, используя $y = 42 - x$:

$y = 42 - 10 = 32$ см.

Зная x, можем найти высоту h трапеции:

$h^2 = 26^2 - x^2 = 26^2 - 10^2 = 676 - 100 = 576$

$h = \sqrt{576} = 24$ см.

Теперь вычислим углы трапеции. Углы при большем основании DC: $\angle D$ и $\angle C$.

В прямоугольном $\triangle ADM$:

$\tan D = \frac{AM}{DM} = \frac{h}{x} = \frac{24}{10} = 2.4$

$D = \arctan(2.4) \approx 67.38^\circ$. Округляем до $1^\circ$, получаем $D \approx 67^\circ$.

В прямоугольном $\triangle BCN$:

$\tan C = \frac{BN}{NC} = \frac{h}{y} = \frac{24}{32} = \frac{3}{4} = 0.75$

$C = \arctan(0.75) \approx 36.87^\circ$. Округляем до $1^\circ$, получаем $C \approx 37^\circ$.

Углы при меньшем основании AB: $\angle A$ и $\angle B$. В трапеции сумма углов, прилежащих к одной боковой стороне, равна $180^\circ$, так как основания параллельны.

Для боковой стороны AD:

$\angle A + \angle D = 180^\circ$

$\angle A = 180^\circ - \angle D = 180^\circ - 67.38^\circ = 112.62^\circ$. Округляем до $1^\circ$, получаем $A \approx 113^\circ$.

Для боковой стороны BC:

$\angle B + \angle C = 180^\circ$

$\angle B = 180^\circ - \angle C = 180^\circ - 36.87^\circ = 143.13^\circ$. Округляем до $1^\circ$, получаем $B \approx 143^\circ$.

Ответ:

Углы трапеции равны примерно $67^\circ$, $37^\circ$, $113^\circ$ и $143^\circ$.