Номер 205, страница 103 - гдз по геометрии 8 класс учебник Солтан, Солтан

205. Доска длиной $3 \text{ м}$ опирается о стену и наклонена под углом $65^\circ$ к полу. Можно ли протянуть под доской по полу прямоугольный лист жести размером $2 \text{ м} \times 3 \text{ м}$, не касаясь нижнего конца доски? Ответ объясните.

Дано:

Длина доски $ L = 3 \text{ м} $

Угол наклона доски к полу $ \alpha = 65^\circ $

Размеры листа жести $ a = 2 \text{ м} $, $ b = 3 \text{ м} $

Перевод в СИ:

Все данные уже представлены в системе СИ.

Найти:

Можно ли протянуть лист жести под доской по полу, не касаясь нижнего конца доски.

Решение:

Представим доску, пол и стену как элементы прямоугольного треугольника. Доска является гипотенузой, пол - прилежащим катетом, а стена - противолежащим катетом к углу $ \alpha $.

Расстояние от стены до нижнего конца доски по полу обозначим как $ D $. Это расстояние является прилежащим катетом к углу $ \alpha $.

Используя определение косинуса угла в прямоугольном треугольнике:

$ \cos(\alpha) = \frac{\text{прилежащий катет}}{\text{гипотенуза}} $

$ \cos(\alpha) = \frac{D}{L} $

Выразим расстояние $ D $:

$ D = L \cdot \cos(\alpha) $

Подставим заданные значения:

$ D = 3 \text{ м} \cdot \cos(65^\circ) $

Вычислим значение $ \cos(65^\circ) \approx 0.422618 $:

$ D \approx 3 \text{ м} \cdot 0.422618 $

$ D \approx 1.267854 \text{ м} $

Лист жести имеет размеры 2 м на 3 м. Условие "не касаясь нижнего конца доски" означает, что ни одна из сторон листа, когда он будет полностью протянут под доской, не должна превышать расстояние $ D $ от стены. То есть, чтобы лист полностью поместился под доской, та его сторона, которая будет перпендикулярна стене (двигаться от стены), должна быть меньше или равна $ D $.

Сравним размеры листа жести с вычисленным расстоянием $ D $:

Первый размер листа: $ 2 \text{ м} $

Второй размер листа: $ 3 \text{ м} $

Поскольку $ 2 \text{ м} > 1.267854 \text{ м} $ и $ 3 \text{ м} > 1.267854 \text{ м} $, обе стороны листа жести больше, чем максимально доступное расстояние от стены до нижнего конца доски. Таким образом, невозможно протянуть лист жести размером 2 м × 3 м под доской по полу, не касаясь нижнего конца доски.

Ответ:

Нет, нельзя.