Номер 207, страница 103 - гдз по геометрии 8 класс учебник Солтан, Солтан

207. Три окружности, радиусы которых относятся как $1:2:3$, внешне касаются друг друга. Найдите градусные меры дуг, заключенных между точками касания.

Дано:

Три окружности с радиусами $R_1, R_2, R_3$.

Отношение радиусов: $R_1 : R_2 : R_3 = 1 : 2 : 3$.

Окружности внешне касаются друг друга.

Найти:

Градусные меры дуг, заключенных между точками касания на каждой окружности.

Решение:

Пусть радиусы окружностей равны $R_1 = k$, $R_2 = 2k$, $R_3 = 3k$ для некоторого положительного числа $k$.

Пусть центры окружностей $O_1, O_2, O_3$.

Так как окружности касаются внешне, расстояние между их центрами равно сумме их радиусов. Таким образом, отрезки, соединяющие центры, образуют треугольник $O_1O_2O_3$.

Длины сторон треугольника $O_1O_2O_3$ будут:

$O_1O_2 = R_1 + R_2 = k + 2k = 3k$

$O_1O_3 = R_1 + R_3 = k + 3k = 4k$

$O_2O_3 = R_2 + R_3 = 2k + 3k = 5k$

Проверим, является ли треугольник $O_1O_2O_3$ прямоугольным, используя обратную теорему Пифагора:

$O_1O_2^2 + O_1O_3^2 = (3k)^2 + (4k)^2 = 9k^2 + 16k^2 = 25k^2$

$O_2O_3^2 = (5k)^2 = 25k^2$

Так как $O_1O_2^2 + O_1O_3^2 = O_2O_3^2$, треугольник $O_1O_2O_3$ является прямоугольным с прямым углом при вершине $O_1$. То есть, $\angle O_2O_1O_3 = 90^\circ$.

Точки касания двух окружностей лежат на линии, соединяющей их центры. Например, если окружности с центрами $O_i$ и $O_j$ касаются в точке $T_{ij}$, то $T_{ij}$ лежит на отрезке $O_iO_j$.

На каждой окружности две точки касания определяют дугу. Градусная мера этой дуги равна мере соответствующего центрального угла, образованного радиусами, проведенными к точкам касания.

Для первой окружности (с центром $O_1$ и радиусом $R_1$):

Точки касания на этой окружности — это $T_{12}$ (с окружностью с центром $O_2$) и $T_{13}$ (с окружностью с центром $O_3$). Дуга между этими точками соответствует центральному углу $\angle T_{12}O_1T_{13}$. Поскольку $T_{12}$ лежит на отрезке $O_1O_2$ и $T_{13}$ лежит на отрезке $O_1O_3$, этот угол совпадает с углом $\angle O_2O_1O_3$ в треугольнике $O_1O_2O_3$. Мы уже установили, что $\angle O_2O_1O_3 = 90^\circ$.

Для второй окружности (с центром $O_2$ и радиусом $R_2$):

Точки касания на этой окружности — это $T_{12}$ (с окружностью с центром $O_1$) и $T_{23}$ (с окружностью с центром $O_3$). Дуга между этими точками соответствует центральному углу $\angle T_{12}O_2T_{23}$. Этот угол совпадает с углом $\angle O_1O_2O_3$ в треугольнике $O_1O_2O_3$. Найдем этот угол, используя косинус в прямоугольном треугольнике $O_1O_2O_3$:

$\cos(\angle O_1O_2O_3) = \frac{\text{прилежащий катет}}{\text{гипотенуза}} = \frac{O_1O_2}{O_2O_3} = \frac{3k}{5k} = \frac{3}{5}$

Следовательно, градусная мера дуги на второй окружности равна $\arccos(\frac{3}{5})$.

Для третьей окружности (с центром $O_3$ и радиусом $R_3$):

Точки касания на этой окружности — это $T_{13}$ (с окружностью с центром $O_1$) и $T_{23}$ (с окружностью с центром $O_2$). Дуга между этими точками соответствует центральному углу $\angle T_{13}O_3T_{23}$. Этот угол совпадает с углом $\angle O_1O_3O_2$ в треугольнике $O_1O_2O_3$. Найдем этот угол, используя косинус в прямоугольном треугольнике $O_1O_2O_3$:

$\cos(\angle O_1O_3O_2) = \frac{\text{прилежащий катет}}{\text{гипотенуза}} = \frac{O_1O_3}{O_2O_3} = \frac{4k}{5k} = \frac{4}{5}$

Следовательно, градусная мера дуги на третьей окружности равна $\arccos(\frac{4}{5})$.

Ответ:

Для первой окружности: $90^\circ$

Для второй окружности: $\arccos(\frac{3}{5})$

Для третьей окружности: $\arccos(\frac{4}{5})$