Номер 213, страница 110 - гдз по геометрии 8 класс учебник Солтан, Солтан

213. a) Разрежьте равносторонний треугольник на три части и сложите из них прямоугольник.

б) Вырежьте из бумаги параллелограмм, разрежьте его на две части, из которых можно составить треугольник.

а) Разрежьте равносторонний треугольник на три части и сложите из них прямоугольник.

Дано:

Равносторонний треугольник.

Найти:

Разрезать треугольник на три части и сложить из них прямоугольник.

Решение:

Пусть дан равносторонний треугольник $ABC$ со стороной $a$. Высота этого треугольника равна $h = \frac{a\sqrt{3}}{2}$. Площадь треугольника $S = \frac{1}{2} a h = \frac{a^2\sqrt{3}}{4}$. Целевой прямоугольник должен иметь такую же площадь. Один из возможных прямоугольников имеет стороны $a/2$ и $a\sqrt{3}/2 = h$.

1. Начертите равносторонний треугольник $ABC$.
2. Проведите высоту $AD$ из вершины $A$ к середине $D$ стороны $BC$. Это разделит треугольник на два равных прямоугольных треугольника: $\triangle ABD$ и $\triangle ACD$.
3. На высоте $AD$ найдите точку $E$ такую, что длина отрезка $AE$ равна половине стороны треугольника $AE = \frac{a}{2}$.
4. Из точки $E$ проведите отрезок $EF$ параллельно стороне $AB$ до пересечения со стороной $BD$ (частью $BC$) в точке $F$. Это разрез, который отсекает верхний треугольник.
5. Теперь у вас есть три части:
   • Часть 1: Треугольник $AFE$ (прямоугольный треугольник).
   • Часть 2: Трапеция $EFBD$.
   • Часть 3: Треугольник $ADC$ (прямоугольный треугольник).
6. Чтобы сложить прямоугольник:
   • Положите треугольник $\triangle ADC$ как основу.
   • Переместите трапецию $EFBD$ так, чтобы ее сторона $EF$ совместилась со стороной $AD$ треугольника $\triangle ADC$. Поскольку $EF \parallel AB$, а $AD \perp BC$, это выравнивание создаст прямой угол.
   • Переместите треугольник $\triangle AFE$ и разместите его так, чтобы его сторона $AF$ совместилась с $CD$ (или $BD$) и $AE$ совместилась с соответствующей частью.

Ответ: Разрез производится по одной из высот треугольника, а затем одна из полученных половин разрезается дополнительным образом, чтобы из трех частей можно было составить прямоугольник. Точное расположение точек для второго разреза подбирается так, чтобы стороны частей могли совпасть, образуя прямые углы прямоугольника.

б) Вырежьте из бумаги параллелограмм, разрежьте его на две части, из которых можно составить треугольник.

Дано:

Параллелограмм.

Найти:

Разрезать параллелограмм на две части и составить из них треугольник.

Решение:

Этот способ преобразования известен как равновеликое преобразование фигур.

1. Начертите параллелограмм $ABCD$.
2. Из одной из вершин, например $D$, проведите высоту к противоположной стороне $AB$. Пусть основание высоты будет точка $E$. (Если точка $E$ выходит за пределы отрезка $AB$, то сторону $AB$ нужно мысленно продлить). Высота $DE$ перпендикулярна $AB$.
3. Разрежьте параллелограмм по линии этой высоты $DE$. У вас получится две части:
   • Часть 1: Прямоугольный треугольник $\triangle ADE$.
   • Часть 2: Трапеция $DBCE$.
4. Чтобы составить из этих двух частей треугольник:
   • Возьмите прямоугольный треугольник $\triangle ADE$.
   • Переместите его (путем параллельного переноса и поворота) так, чтобы сторона $AD$ (гипотенуза треугольника) совместилась со стороной $BC$ трапеции $DBCE$. (Стороны $AD$ и $BC$ равны и параллельны, так как они являются противоположными сторонами параллелограмма).
   • При этом перемещении точка $D$ совместится с точкой $C$, а точка $A$ совместится с точкой $B$. Точка $E$ окажется на продолжении стороны $CD$.

В результате этих действий будет образован большой треугольник с основанием, равным сумме длин основания параллелограмма и отсеченного отрезка, и высотой, равной высоте параллелограмма.

Ответ: Параллелограмм разрезается по высоте, проведенной из одной вершины к противоположной стороне (или ее продолжению). Полученный прямоугольный треугольник переносится и прикладывается к другой стороне трапеции, образуя единый треугольник.