Номер 214, страница 110 - гдз по геометрии 8 класс учебник Солтан, Солтан

214. a) Длины сторон двух участков земли, имеющих форму квадрата, равны 10 м и 24 м. Найдите длину стороны квадратного участка земли, имеющего площадь, равную сумме площадей этих участков.

б) Стороны прямоугольника 4 см и 15 см. Найдите стороны равновеликого ему прямоугольника, если они относятся как 3 : 5.

в) Найдите сторону квадрата, равновеликого прямоугольному треугольнику с катетами 24 см и 27 см.

а)

Дано:

Сторона первого квадратного участка: $a_1 = 10 \, \text{м}$

Сторона второго квадратного участка: $a_2 = 24 \, \text{м}$

Площадь третьего квадратного участка $S_3$ равна сумме площадей первого $S_1$ и второго $S_2$: $S_3 = S_1 + S_2$

Перевод в СИ:

$a_1 = 10 \, \text{м}$ (уже в СИ)

$a_2 = 24 \, \text{м}$ (уже в СИ)

Найти:

Сторона третьего квадратного участка: $a_3$

Решение:

Сначала найдем площади первого и второго квадратных участков, используя формулу площади квадрата $S = a^2$:

$S_1 = a_1^2 = (10 \, \text{м})^2 = 100 \, \text{м}^2$

$S_2 = a_2^2 = (24 \, \text{м})^2 = 576 \, \text{м}^2$

Затем найдем площадь третьего квадратного участка, которая равна сумме площадей первых двух участков:

$S_3 = S_1 + S_2 = 100 \, \text{м}^2 + 576 \, \text{м}^2 = 676 \, \text{м}^2$

Чтобы найти длину стороны третьего квадратного участка, возьмем квадратный корень из его площади:

$a_3 = \sqrt{S_3} = \sqrt{676 \, \text{м}^2} = 26 \, \text{м}$

Ответ: 26 м

б)

Дано:

Стороны первого прямоугольника: $a_1 = 4 \, \text{см}$, $b_1 = 15 \, \text{см}$

Площадь второго прямоугольника $S_2$ равна площади первого $S_1$: $S_2 = S_1$

Отношение сторон второго прямоугольника: $a_2 : b_2 = 3 : 5$

Перевод в СИ:

$a_1 = 4 \, \text{см} = 0.04 \, \text{м}$

$b_1 = 15 \, \text{см} = 0.15 \, \text{м}$

Найти:

Стороны второго прямоугольника: $a_2, b_2$

Решение:

Найдем площадь первого прямоугольника, используя формулу $S = a \cdot b$:

$S_1 = a_1 \cdot b_1 = 0.04 \, \text{м} \cdot 0.15 \, \text{м} = 0.006 \, \text{м}^2$

Поскольку второй прямоугольник равновелик первому, его площадь $S_2$ равна $S_1$:

$S_2 = 0.006 \, \text{м}^2$

Пусть стороны второго прямоугольника равны $3x$ и $5x$ в соответствии с их отношением. Тогда его площадь выражается как:

$S_2 = (3x) \cdot (5x) = 15x^2$

Приравниваем найденные значения площади для второго прямоугольника и решаем относительно $x$:

$15x^2 = 0.006$

$x^2 = \frac{0.006}{15} = 0.0004$

$x = \sqrt{0.0004} = 0.02 \, \text{м}$

Теперь найдем длины сторон второго прямоугольника, подставив значение $x$:

$a_2 = 3x = 3 \cdot 0.02 \, \text{м} = 0.06 \, \text{м}$

$b_2 = 5x = 5 \cdot 0.02 \, \text{м} = 0.10 \, \text{м}$

Переведем результат обратно в сантиметры для удобства:

$a_2 = 0.06 \, \text{м} = 6 \, \text{см}$

$b_2 = 0.10 \, \text{м} = 10 \, \text{см}$

Ответ: 6 см и 10 см

в)

Дано:

Прямоугольный треугольник с катетами: $k_1 = 24 \, \text{см}$, $k_2 = 27 \, \text{см}$

Квадрат равновелик треугольнику, т.е. площадь квадрата $S_{\text{квадрата}}$ равна площади треугольника $S_{\text{треугольника}}$: $S_{\text{квадрата}} = S_{\text{треугольника}}$

Перевод в СИ:

$k_1 = 24 \, \text{см} = 0.24 \, \text{м}$

$k_2 = 27 \, \text{см} = 0.27 \, \text{м}$

Найти:

Сторона квадрата: $a_{\text{кв}}$

Решение:

Найдем площадь прямоугольного треугольника по формуле: $S_{\text{треугольника}} = \frac{1}{2} \cdot \text{катет}_1 \cdot \text{катет}_2$

$S_{\text{треугольника}} = \frac{1}{2} \cdot 0.24 \, \text{м} \cdot 0.27 \, \text{м} = \frac{1}{2} \cdot 0.0648 \, \text{м}^2 = 0.0324 \, \text{м}^2$

Так как квадрат равновелик треугольнику, его площадь $S_{\text{квадрата}}$ равна площади треугольника:

$S_{\text{квадрата}} = 0.0324 \, \text{м}^2$

Длина стороны квадрата равна квадратному корню из его площади:

$a_{\text{кв}} = \sqrt{S_{\text{квадрата}}} = \sqrt{0.0324 \, \text{м}^2} = 0.18 \, \text{м}$

Переведем результат в сантиметры:

$a_{\text{кв}} = 0.18 \, \text{м} = 18 \, \text{см}$

Ответ: 18 см