Номер 212, страница 110 - гдз по геометрии 8 класс учебник Солтан, Солтан

212. a) Докажите, что равные четырехугольники – равновеликие. Сформулируйте обратное утверждение и установите, справедливо ли оно.

б) Верно ли, что равносоставленные многоугольники – равновеликие?

в) Вырежьте из бумаги два равных прямоугольных треугольника с катетами 3 см и 4 см. Составьте из них: 1) прямоугольник; 2) параллелограмм; 3) равнобедренный треугольник. Чему равны площади этих фигур?

г) Начертите в тетради квадрат и примите его площадь за единицу. Постройте: 1) квадрат и прямоугольный треугольник, площади которых равны 4 кв. ед.; 2) прямоугольник и равнобедренный треугольник, площади которых равны 3 кв. ед.

a) Докажите, что равные четырехугольники – равновеликие. Сформулируйте обратное утверждение и установите, справедливо ли оно.

Доказательство:

Два четырехугольника считаются равными (конгруэнтными), если они могут быть совмещены друг с другом путем наложения так, что все их соответствующие вершины и стороны совпадут. По определению, площадь фигуры — это мера части плоскости, которую занимает эта фигура. Если два четырехугольника равны, то они занимают одну и ту же область на плоскости. Следовательно, их площади должны быть идентичными, что означает, что они являются равновеликими.

Обратное утверждение:

Если два четырехугольника равновеликие, то они равные.

Справедливость обратного утверждения:

Обратное утверждение не является справедливым (ложно). В качестве контрпримера можно рассмотреть квадрат со стороной $2 \text{ см}$ и прямоугольник со сторонами $1 \text{ см}$ и $4 \text{ см}$. Площадь квадрата равна $2 \text{ см} \cdot 2 \text{ см} = 4 \text{ см}^2$. Площадь прямоугольника равна $1 \text{ см} \cdot 4 \text{ см} = 4 \text{ см}^2$. Таким образом, эти два четырехугольника равновеликие, поскольку их площади равны. Однако они не являются равными (конгруэнтными), так как их нельзя совместить путем наложения.

Ответ: Доказано. Обратное утверждение ложно.

б) Верно ли, что равносоставленные многоугольники – равновеликие?

Решение:

Равносоставленные многоугольники — это многоугольники, которые могут быть разрезаны на конечное число одинаковых по форме и размеру частей (многоугольников), из которых затем можно составить другой многоугольник. Площадь многоугольника обладает свойством аддитивности, то есть площадь целого многоугольника равна сумме площадей его составных частей. Кроме того, площадь фигуры не изменяется при ее перемещении (поворотах, сдвигах) или декомпозиции. Если один многоугольник составлен из тех же частей, что и другой, то их общие площади должны быть равны сумме площадей этих частей. Следовательно, равносоставленные многоугольники всегда являются равновеликими.

Ответ: Верно.

в) Вырежьте из бумаги два равных прямоугольных треугольника с катетами 3 см и 4 см. Составьте из них: 1) прямоугольник; 2) параллелограмм; 3) равнобедренный треугольник. Чему равны площади этих фигур?

Дано:

Два равных прямоугольных треугольника с катетами $a = 3 \text{ см}$ и $b = 4 \text{ см}$.

Перевод в СИ:

$a = 3 \text{ см} = 0.03 \text{ м}$

$b = 4 \text{ см} = 0.04 \text{ м}$

Найти:

Площади составленных фигур.

Решение:

Сначала вычислим площадь одного прямоугольного треугольника. Площадь прямоугольного треугольника вычисляется по формуле $S = \frac{1}{2}ab$, где $a$ и $b$ — длины катетов.

$S_{треугольника} = \frac{1}{2} \cdot 3 \text{ см} \cdot 4 \text{ см} = \frac{1}{2} \cdot 12 \text{ см}^2 = 6 \text{ см}^2$.

Поскольку все фигуры (прямоугольник, параллелограмм, равнобедренный треугольник) составляются из двух таких треугольников, их общая площадь будет равна сумме площадей этих двух треугольников:

$S_{общая} = 2 \cdot S_{треугольника} = 2 \cdot 6 \text{ см}^2 = 12 \text{ см}^2$.

Согласно принципу, изложенному в пункте б), равносоставленные многоугольники являются равновеликими. Так как все перечисленные фигуры составлены из одних и тех же двух треугольников, их площади будут равны общей площади этих двух треугольников.

1) Прямоугольник: Может быть составлен путем соединения двух треугольников по их гипотенузам (гипотенуза равна $\sqrt{3^2+4^2}=5 \text{ см}$). В этом случае получается прямоугольник со сторонами $3 \text{ см}$ и $4 \text{ см}$. Его площадь $S_{прямоугольника} = 3 \text{ см} \cdot 4 \text{ см} = 12 \text{ см}^2$.

2) Параллелограмм: Может быть составлен путем соединения двух треугольников по одному из катетов, например, по катету $4 \text{ см}$, при этом один треугольник перевернут. Получится параллелограмм с основанием $4 \text{ см}$ и высотой $3 \text{ см}$. Его площадь $S_{параллелограмма} = 4 \text{ см} \cdot 3 \text{ см} = 12 \text{ см}^2$.

3) Равнобедренный треугольник: Может быть составлен путем соединения двух треугольников по одному из катетов, например, по катету $3 \text{ см}$. В этом случае основание равнобедренного треугольника составит $4 \text{ см} + 4 \text{ см} = 8 \text{ см}$, а высота будет $3 \text{ см}$. Его площадь $S_{равнобедренного\_треугольника} = \frac{1}{2} \cdot 8 \text{ см} \cdot 3 \text{ см} = 12 \text{ см}^2$. (Аналогично, если соединить по катету $4 \text{ см}$, основание будет $3 \text{ см} + 3 \text{ см} = 6 \text{ см}$, высота $4 \text{ см}$, площадь $\frac{1}{2} \cdot 6 \text{ см} \cdot 4 \text{ см} = 12 \text{ см}^2$).

Таким образом, площади всех составленных фигур равны.

Ответ: Площади всех этих фигур равны $12 \text{ см}^2$.

г) Начертите в тетради квадрат и примите его площадь за единицу. Постройте: 1) квадрат и прямоугольный треугольник, площади которых равны 4 кв. ед.; 2) прямоугольник и равнобедренный треугольник, площади которых равны 3 кв. ед.

Дано:

Площадь единичного квадрата $S_{ед.} = 1 \text{ кв. ед.}$

Найти:

Параметры фигур для построения.

Решение:

Если площадь единичного квадрата равна $1 \text{ кв. ед.}$, то его сторона $s$ равна $\sqrt{1 \text{ кв. ед.}} = 1 \text{ ед.}$. В тетради удобно принять $1 \text{ ед.}$ равной, например, одной клетке (или $1 \text{ см}$).

1) Квадрат и прямоугольный треугольник, площади которых равны 4 кв. ед.

Для квадрата с площадью $4 \text{ кв. ед.}$: Пусть сторона квадрата $a$. Тогда площадь $S_{квадрата} = a^2 = 4 \text{ кв. ед.}$, откуда $a = \sqrt{4} = 2 \text{ ед.}$.

Построение: Необходимо начертить квадрат со стороной, равной $2 \text{ ед.}$, то есть вдвое большей стороны единичного квадрата (например, $2 \text{ см}$ или $2$ клетки тетради).

Для прямоугольного треугольника с площадью $4 \text{ кв. ед.}$: Пусть катеты треугольника $x$ и $y$. Площадь прямоугольного треугольника равна $S_{треугольника} = \frac{1}{2}xy$. Тогда $\frac{1}{2}xy = 4 \text{ кв. ед.}$, откуда $xy = 8 \text{ кв. ед.}$.

Можно выбрать катеты, например, $x=2 \text{ ед.}$ и $y=4 \text{ ед.}$. ($2 \cdot 4 = 8$).

Построение: Необходимо начертить прямоугольный треугольник с катетами $2 \text{ ед.}$ и $4 \text{ ед.}$.

2) Прямоугольник и равнобедренный треугольник, площади которых равны 3 кв. ед.

Для прямоугольника с площадью $3 \text{ кв. ед.}$: Пусть стороны прямоугольника $l$ и $w$. Тогда площадь $S_{прямоугольника} = lw = 3 \text{ кв. ед.}$.

Можно выбрать стороны, например, $l=1 \text{ ед.}$ и $w=3 \text{ ед.}$. ($1 \cdot 3 = 3$).

Построение: Необходимо начертить прямоугольник со сторонами $1 \text{ ед.}$ и $3 \text{ ед.}$.

Для равнобедренного треугольника с площадью $3 \text{ кв. ед.}$: Пусть основание треугольника $b$ и высота $h$. Площадь равнобедренного треугольника равна $S_{треугольника} = \frac{1}{2}bh$. Тогда $\frac{1}{2}bh = 3 \text{ кв. ед.}$, откуда $bh = 6 \text{ кв. ед.}$.

Можно выбрать, например, основание $b=2 \text{ ед.}$ и высоту $h=3 \text{ ед.}$. ($2 \cdot 3 = 6$).

Построение: Необходимо начертить равнобедренный треугольник с основанием $2 \text{ ед.}$ и высотой $3 \text{ ед.}$. Для этого начертите отрезок длиной $2 \text{ ед.}$ (основание), найдите его середину. Из середины проведите перпендикулярный отрезок длиной $3 \text{ ед.}$ (высота). Соедините концы основания с верхней точкой этого перпендикуляра.

Ответ: Параметры для построения указаны в решении.