Номер 208, страница 103 - гдз по геометрии 8 класс учебник Солтан, Солтан

208. a) Упростите выражение:

1) $ \sin (90^\circ - \alpha) \cdot \cos \alpha + \cos (90^\circ - \alpha) \cdot \sin \alpha; $

2) $ \operatorname{tg} (90^\circ - \alpha) \cdot \operatorname{tg} \alpha - \operatorname{ctg} (90^\circ - \alpha) \cdot \operatorname{ctg} \alpha, $ где a – острый угол.

б) Определите знак выражения:

1) $ (\cos 60^\circ - \cos 30^\circ) \cdot (\operatorname{tg} 60^\circ - \sin 60^\circ); $

2) $ (\operatorname{tg} 30^\circ - \sin 60^\circ) \cdot (\sin 45^\circ - \operatorname{tg} 45^\circ). $

а) Упростите выражение:

1)

Дано: выражение $\sin (90^\circ - \alpha) \cdot \cos \alpha + \cos (90^\circ - \alpha) \cdot \sin \alpha$

Найти: упростить выражение.

Решение:

Для упрощения выражения воспользуемся формулами приведения:

$\sin (90^\circ - \alpha) = \cos \alpha$

$\cos (90^\circ - \alpha) = \sin \alpha$

Подставим эти формулы в исходное выражение:

$ \sin (90^\circ - \alpha) \cdot \cos \alpha + \cos (90^\circ - \alpha) \cdot \sin \alpha = \cos \alpha \cdot \cos \alpha + \sin \alpha \cdot \sin \alpha $

$ = \cos^2 \alpha + \sin^2 \alpha $

Согласно основному тригонометрическому тождеству, $\sin^2 \alpha + \cos^2 \alpha = 1$.

$ = 1 $

Ответ: $1$

2)

Дано: выражение $\operatorname{tg} (90^\circ - \alpha) \cdot \operatorname{tg} \alpha - \operatorname{ctg} (90^\circ - \alpha) \cdot \operatorname{ctg} \alpha$, где $\alpha$ - острый угол.

Найти: упростить выражение.

Решение:

Для упрощения выражения воспользуемся формулами приведения:

$\operatorname{tg} (90^\circ - \alpha) = \operatorname{ctg} \alpha$

$\operatorname{ctg} (90^\circ - \alpha) = \operatorname{tg} \alpha$

Подставим эти формулы в исходное выражение:

$ \operatorname{tg} (90^\circ - \alpha) \cdot \operatorname{tg} \alpha - \operatorname{ctg} (90^\circ - \alpha) \cdot \operatorname{ctg} \alpha = \operatorname{ctg} \alpha \cdot \operatorname{tg} \alpha - \operatorname{tg} \alpha \cdot \operatorname{ctg} \alpha $

Поскольку $\alpha$ - острый угол, $\operatorname{tg} \alpha \neq 0$ и $\operatorname{ctg} \alpha \neq 0$. Известно, что $\operatorname{tg} \alpha \cdot \operatorname{ctg} \alpha = 1$.

$ = 1 - 1 = 0 $

Ответ: $0$

б) Определите знак выражения:

1)

Дано: выражение $(\cos 60^\circ - \cos 30^\circ) \cdot (\operatorname{tg} 60^\circ - \sin 60^\circ)$

Найти: знак выражения.

Решение:

Для определения знака выражения, найдем значения тригонометрических функций для заданных углов:

$\cos 60^\circ = \frac{1}{2}$

$\cos 30^\circ = \frac{\sqrt{3}}{2}$

$\operatorname{tg} 60^\circ = \sqrt{3}$

$\sin 60^\circ = \frac{\sqrt{3}}{2}$

Вычислим значение первой скобки:

$ \cos 60^\circ - \cos 30^\circ = \frac{1}{2} - \frac{\sqrt{3}}{2} = \frac{1 - \sqrt{3}}{2} $

Так как $\sqrt{3} \approx 1.732$, то $1 - \sqrt{3} < 0$. Следовательно, значение первой скобки отрицательно: $(\frac{1 - \sqrt{3}}{2}) < 0$.

Вычислим значение второй скобки:

$ \operatorname{tg} 60^\circ - \sin 60^\circ = \sqrt{3} - \frac{\sqrt{3}}{2} = \frac{2\sqrt{3} - \sqrt{3}}{2} = \frac{\sqrt{3}}{2} $

Так как $\sqrt{3} > 0$, то значение второй скобки положительно: $(\frac{\sqrt{3}}{2}) > 0$.

Исходное выражение представляет собой произведение отрицательного числа на положительное число. Произведение чисел с разными знаками всегда отрицательно.

$ (\text{отрицательное}) \cdot (\text{положительное}) = \text{отрицательное} $

Ответ: Знак выражения отрицательный.

2)

Дано: выражение $(\operatorname{tg} 30^\circ - \sin 60^\circ) \cdot (\sin 45^\circ - \operatorname{tg} 45^\circ)$

Найти: знак выражения.

Решение:

Для определения знака выражения, найдем значения тригонометрических функций для заданных углов:

$\operatorname{tg} 30^\circ = \frac{\sqrt{3}}{3}$

$\sin 60^\circ = \frac{\sqrt{3}}{2}$

$\sin 45^\circ = \frac{\sqrt{2}}{2}$

$\operatorname{tg} 45^\circ = 1$

Вычислим значение первой скобки:

$ \operatorname{tg} 30^\circ - \sin 60^\circ = \frac{\sqrt{3}}{3} - \frac{\sqrt{3}}{2} $

Приведем дроби к общему знаменателю (6):

$ = \frac{2\sqrt{3}}{6} - \frac{3\sqrt{3}}{6} = \frac{2\sqrt{3} - 3\sqrt{3}}{6} = \frac{-\sqrt{3}}{6} $

Так как $\sqrt{3} > 0$, то значение первой скобки отрицательно: $(\frac{-\sqrt{3}}{6}) < 0$.

Вычислим значение второй скобки:

$ \sin 45^\circ - \operatorname{tg} 45^\circ = \frac{\sqrt{2}}{2} - 1 $

Так как $\sqrt{2} \approx 1.414$, то $\frac{\sqrt{2}}{2} \approx 0.707$. Следовательно, $0.707 - 1 < 0$. Значение второй скобки отрицательно: $(\frac{\sqrt{2}}{2} - 1) < 0$.

Исходное выражение представляет собой произведение двух отрицательных чисел. Произведение двух отрицательных чисел всегда положительно.

$ (\text{отрицательное}) \cdot (\text{отрицательное}) = \text{положительное} $

Ответ: Знак выражения положительный.