Номер 204, страница 102 - гдз по геометрии 8 класс учебник Солтан, Солтан

204. а) В разрезе ров имеет форму равнобедренной трапеции с основаниями 4 м и 9 м и высотой 5 м (рисунок 98). Под каким углом наклонены его боковые стороны ко дну рва? Укажите ответ с точностью до $1^\circ$.

б) Железнодорожная насыпь имеет вверху ширину 6 м, а внизу – 12 м. Найдите с точностью до 0,01 м высоту насыпи, если с обеих сторон она наклонена к основанию под углом $35^\circ$.

Рисунок 98

a)

Дано:

Трапеция равнобедренная (ров)

Нижнее основание (дно рва): $b_1 = 4 \text{ м}$

Верхнее основание: $b_2 = 9 \text{ м}$

Высота: $h = 5 \text{ м}$

Найти:

Угол наклона боковых сторон к дну рва $\alpha$

Решение

В равнобедренной трапеции опустим перпендикуляры из вершин верхнего основания на нижнее основание. Это разобьет трапецию на прямоугольник посередине и два равных прямоугольных треугольника по бокам. Длина горизонтального катета каждого прямоугольного треугольника $x$ равна половине разности длин оснований:

$x = \frac{b_2 - b_1}{2}$

$x = \frac{9 \text{ м} - 4 \text{ м}}{2} = \frac{5 \text{ м}}{2} = 2.5 \text{ м}$

Высота трапеции $h$ является вертикальным катетом этих прямоугольных треугольников.

Искомый угол $\alpha$ является углом между боковой стороной и нижним основанием. В прямоугольном треугольнике тангенс этого угла равен отношению противолежащего катета (высоты $h$) к прилежащему катету ($x$):

$\tan(\alpha) = \frac{h}{x}$

$\tan(\alpha) = \frac{5 \text{ м}}{2.5 \text{ м}} = 2$

Для нахождения угла $\alpha$ используем арктангенс:

$\alpha = \arctan(2)$

$\alpha \approx 63.43^\circ$

Округляем до 1 градуса:

$\alpha \approx 63^\circ$

Ответ: $63^\circ$

b)

Дано:

Трапеция равнобедренная (железнодорожная насыпь)

Ширина поверху (верхнее основание): $b_1 = 6 \text{ м}$

Ширина внизу (нижнее основание): $b_2 = 12 \text{ м}$

Угол наклона боковых сторон к основанию: $\alpha = 35^\circ$

Найти:

Высота насыпи $h$

Решение

Аналогично предыдущей задаче, для равнобедренной трапеции, опустим перпендикуляры из вершин верхнего основания на нижнее. Это образует два равных прямоугольных треугольника по бокам. Длина горизонтального катета каждого прямоугольного треугольника $x$ равна половине разности длин оснований:

$x = \frac{b_2 - b_1}{2}$

$x = \frac{12 \text{ м} - 6 \text{ м}}{2} = \frac{6 \text{ м}}{2} = 3 \text{ м}$

В прямоугольном треугольнике тангенс заданного угла $\alpha$ равен отношению противолежащего катета (высоты $h$) к прилежащему катету ($x$):

$\tan(\alpha) = \frac{h}{x}$

Отсюда выразим высоту $h$:

$h = x \cdot \tan(\alpha)$

$h = 3 \text{ м} \cdot \tan(35^\circ)$

Вычисляем значение $\tan(35^\circ) \approx 0.7002075$:

$h = 3 \text{ м} \cdot 0.7002075 \approx 2.1006225 \text{ м}$

Округляем до 0.01 метра:

$h \approx 2.10 \text{ м}$

Ответ: $2.10 \text{ м}$