Номер 198, страница 99 - гдз по геометрии 8 класс учебник Солтан, Солтан

198. Стороны прямоугольника равны 35 см и 74,9 см. Найдите с точностью до $1^\circ$ острый угол между его диагоналями.

Дано:

Сторона прямоугольника $a = 35$ см

Сторона прямоугольника $b = 74.9$ см

Перевод в систему СИ:

$a = 35 \text{ см} = 0.35 \text{ м}$

$b = 74.9 \text{ см} = 0.749 \text{ м}$

Найти:

Острый угол между диагоналями $\phi$ (с точностью до $1^\circ$).

Решение:

В прямоугольнике диагонали равны и точкой пересечения делятся пополам. Пусть диагонали $d_1$ и $d_2$ пересекаются в точке $O$. Тогда $d_1 = d_2 = d$, и $AO = BO = CO = DO = d/2$.

Длину диагонали $d$ можно найти по теореме Пифагора:

$d^2 = a^2 + b^2$

Рассмотрим треугольник, образованный двумя половинами диагоналей и одной из сторон прямоугольника. Пусть это будет треугольник, в котором стороной является $a$. Стороны этого треугольника равны $d/2$, $d/2$ и $a$. Угол между половинами диагоналей, лежащий напротив стороны $a$, пусть будет $\phi_a$. По теореме косинусов для этого треугольника:

$a^2 = (d/2)^2 + (d/2)^2 - 2(d/2)(d/2)\cos(\phi_a)$

$a^2 = 2(d/2)^2 - 2(d/2)^2\cos(\phi_a)$

$a^2 = 2 \left(\frac{d}{2}\right)^2 (1 - \cos(\phi_a))$

Подставим выражение для $(d/2)^2$: $(d/2)^2 = \frac{d^2}{4} = \frac{a^2+b^2}{4}$

$a^2 = 2 \frac{a^2+b^2}{4} (1 - \cos(\phi_a))$

$a^2 = \frac{a^2+b^2}{2} (1 - \cos(\phi_a))$

Выразим $\cos(\phi_a)$:

$2a^2 = (a^2+b^2) (1 - \cos(\phi_a))$

$1 - \cos(\phi_a) = \frac{2a^2}{a^2+b^2}$

$\cos(\phi_a) = 1 - \frac{2a^2}{a^2+b^2} = \frac{a^2+b^2 - 2a^2}{a^2+b^2} = \frac{b^2-a^2}{a^2+b^2}$

Теперь подставим числовые значения сторон $a$ и $b$:

$a = 35$ см, $b = 74.9$ см

$a^2 = 35^2 = 1225$

$b^2 = 74.9^2 = 5610.01$

Вычислим числитель и знаменатель для $\cos(\phi_a)$:

$b^2 - a^2 = 5610.01 - 1225 = 4385.01$

$a^2 + b^2 = 1225 + 5610.01 = 6835.01$

Таким образом,

$\cos(\phi_a) = \frac{4385.01}{6835.01} \approx 0.6415411$

Так как $b > a$, то $b^2 - a^2 > 0$, следовательно, $\cos(\phi_a) > 0$. Это означает, что угол $\phi_a$ является острым. Именно его и нужно найти.

$\phi_a = \arccos(0.6415411)$

$\phi_a \approx 50.091^\circ$

Округлим результат до $1^\circ$:

$\phi_a \approx 50^\circ$

Ответ: 50°