Номер 196, страница 99 - гдз по геометрии 8 класс учебник Солтан, Солтан

196. Полуокружность разделена на две дуги, градусные меры которых относятся как 2 : 4. Точка деления соединена хордами с концами диаметра. Найдите этот диаметр, если разность длин хорд равна 10 см.

Дано:

Полуокружность разделена на две дуги.

Отношение градусных мер дуг $m_1 : m_2 = 2 : 4$.

Точка деления соединена хордами с концами диаметра.

Разность длин хорд $\Delta L = 10$ см.

Найти:

Диаметр полуокружности $D$.

Решение:

Полная градусная мера полуокружности составляет $180^\circ$.

Пусть градусные меры двух дуг будут $2x$ и $4x$. Сумма этих дуг равна градусной мере полуокружности:

$2x + 4x = 180^\circ$

$6x = 180^\circ$

$x = \frac{180^\circ}{6}$

$x = 30^\circ$

Таким образом, градусные меры дуг составляют:

Первая дуга: $m_1 = 2x = 2 \times 30^\circ = 60^\circ$.

Вторая дуга: $m_2 = 4x = 4 \times 30^\circ = 120^\circ$.

Пусть концы диаметра будут точки $A$ и $B$, а точка деления на полуокружности - точка $C$. Хорды, соединяющие точку $C$ с концами диаметра, это $AC$ и $BC$.

Треугольник, образованный этими хордами и диаметром ($ \triangle ABC $), является прямоугольным, так как он вписан в полуокружность, и его гипотенуза является диаметром. Прямой угол находится при вершине $C$ ($ \angle ACB = 90^\circ $).

Вписанный угол равен половине градусной меры дуги, на которую он опирается.

Угол $ \angle ABC $ опирается на дугу $AC$, мера которой $60^\circ$. Следовательно:

$ \angle ABC = \frac{1}{2} m_1 = \frac{1}{2} \times 60^\circ = 30^\circ $

Угол $ \angle BAC $ опирается на дугу $BC$, мера которой $120^\circ$. Следовательно:

$ \angle BAC = \frac{1}{2} m_2 = \frac{1}{2} \times 120^\circ = 60^\circ $

Теперь выразим длины хорд $AC$ и $BC$ через диаметр $D$ (который равен длине $AB$) в прямоугольном треугольнике $ABC$:

$AC = AB \sin(\angle ABC) = D \sin(30^\circ)$

$AC = D \times \frac{1}{2} = \frac{D}{2}$

$BC = AB \sin(\angle BAC) = D \sin(60^\circ)$

$BC = D \times \frac{\sqrt{3}}{2}$

По условию, разность длин хорд равна 10 см. Поскольку $ \frac{\sqrt{3}}{2} \approx 0.866 $ и $ \frac{1}{2} = 0.5 $, то $BC > AC$.

$BC - AC = 10$

$D \frac{\sqrt{3}}{2} - \frac{D}{2} = 10$

Вынесем $D$ за скобки:

$D \left(\frac{\sqrt{3} - 1}{2}\right) = 10$

Выразим диаметр $D$:

$D = \frac{10 \times 2}{\sqrt{3} - 1}$

$D = \frac{20}{\sqrt{3} - 1}$

Для того чтобы избавиться от иррациональности в знаменателе, умножим числитель и знаменатель на сопряженное выражение $ (\sqrt{3} + 1) $:

$D = \frac{20}{\sqrt{3} - 1} \times \frac{\sqrt{3} + 1}{\sqrt{3} + 1}$

$D = \frac{20(\sqrt{3} + 1)}{(\sqrt{3})^2 - 1^2}$

$D = \frac{20(\sqrt{3} + 1)}{3 - 1}$

$D = \frac{20(\sqrt{3} + 1)}{2}$

$D = 10(\sqrt{3} + 1)$

Ответ:

Диаметр полуокружности равен $10(\sqrt{3} + 1)$ см.