Номер 194, страница 98 - гдз по геометрии 8 класс учебник Солтан, Солтан

194. a) В прямоугольной трапеции острый угол равен $60^\circ$. Большая боковая сторона и большее основание равны по 12 см. Найдите периметр трапеции.

б) В прямоугольном треугольнике $ACB$ $\angle C = 90^\circ$, катет $AC = 14$ см, $BM$ – медиана, $\angle AMB = 130^\circ$. Найдите с точностью до 0,1 см длины отрезков $BM$ и $BC$.

а)

Дано:

трапеция $ABCD$, $AB \parallel CD$, $\angle A = \angle D = 90^{\circ}$

$BC = 12$ см (большая боковая сторона)

$CD = 12$ см (большее основание)

острый угол $\angle C = 60^{\circ}$

Найти:

периметр трапеции $P_{ABCD}$

Решение:

1. Проведем высоту $BE$ из вершины $B$ на основание $CD$. Так как трапеция прямоугольная, $AD$ также является высотой.

2. Четырехугольник $ABED$ является прямоугольником, поскольку $AB \parallel DE$, $AD \parallel BE$ и $\angle A = 90^{\circ}$. Следовательно, $AD = BE$ и $AB = DE$.

3. Рассмотрим прямоугольный треугольник $BCE$ ($\angle E = 90^{\circ}$).

Мы знаем, что гипотенуза $BC = 12$ см и острый угол $\angle C = 60^{\circ}$.

Используем тригонометрические соотношения для нахождения катетов $BE$ и $CE$:

$BE = BC \sin(\angle C) = 12 \sin(60^{\circ}) = 12 \cdot \frac{\sqrt{3}}{2} = 6\sqrt{3}$ см.

$CE = BC \cos(\angle C) = 12 \cos(60^{\circ}) = 12 \cdot \frac{1}{2} = 6$ см.

4. Так как $CD$ - большее основание и равно 12 см, а $CE = 6$ см, то длина отрезка $DE$ равна $CD - CE = 12 - 6 = 6$ см.

5. Из свойств прямоугольника $ABED$ имеем:

Высота трапеции $AD = BE = 6\sqrt{3}$ см.

Меньшее основание трапеции $AB = DE = 6$ см.

6. Периметр трапеции $P_{ABCD}$ равен сумме длин всех ее сторон:

$P_{ABCD} = AB + BC + CD + AD$

$P_{ABCD} = 6 + 12 + 12 + 6\sqrt{3} = 30 + 6\sqrt{3}$ см.

Ответ: $30 + 6\sqrt{3}$ см.

б)

Дано:

прямоугольный треугольник $ACB$, $\angle C = 90^{\circ}$

катет $AC = 14$ см

$BM$ - медиана

$\angle AMB = 130^{\circ}$

Найти:

длины отрезков $BM$ и $BC$ с точностью до 0,1 см.

Решение:

1. Так как $BM$ - медиана, проведенная к стороне $AC$, то точка $M$ является серединой отрезка $AC$.

Следовательно, $AM = MC = \frac{AC}{2} = \frac{14}{2} = 7$ см.

2. Углы $\angle AMB$ и $\angle CMB$ являются смежными углами, так как точки $A$, $M$, $C$ лежат на одной прямой. Сумма смежных углов равна $180^{\circ}$.

$\angle CMB = 180^{\circ} - \angle AMB = 180^{\circ} - 130^{\circ} = 50^{\circ}$.

3. Рассмотрим прямоугольный треугольник $BCM$ ($\angle C = 90^{\circ}$).

У нас есть катет $MC = 7$ см и острый угол $\angle CMB = 50^{\circ}$.

Используем тригонометрические соотношения для нахождения катета $BC$ и гипотенузы $BM$:

Для нахождения $BC$ (катет, противолежащий углу $\angle CMB$):

$\tan(\angle CMB) = \frac{BC}{MC}$

$BC = MC \tan(\angle CMB) = 7 \tan(50^{\circ})$

$BC \approx 7 \cdot 1.1917535 \approx 8.3422745$ см.

Округлим до 0,1 см: $BC \approx 8.3$ см.

Для нахождения $BM$ (гипотенуза):

$\cos(\angle CMB) = \frac{MC}{BM}$

$BM = \frac{MC}{\cos(\angle CMB)} = \frac{7}{\cos(50^{\circ})}$

$BM \approx \frac{7}{0.6427876} \approx 10.890196$ см.

Округлим до 0,1 см: $BM \approx 10.9$ см.

Ответ: $BM \approx 10.9$ см, $BC \approx 8.3$ см.