Номер 201, страница 102 - гдз по геометрии 8 класс учебник Солтан, Солтан

201. Периметр треугольника $PNK$ равен $8,4$ дм, его биссектриса $PM$ делит сторону $NK$ на части $NM = 2,7$ дм, $MK = 0,9$ дм. Найдите стороны $PN$ и $PK$.

Дано:

Треугольник $PNK$.

Периметр треугольника $P_{PNK} = 8.4$ дм.

$PM$ - биссектриса угла $P$.

Биссектриса $PM$ делит сторону $NK$ на отрезки $NM = 2.7$ дм и $MK = 0.9$ дм.

Перевод в СИ:

Периметр $P_{PNK} = 8.4 \text{ дм} = 8.4 \times 0.1 \text{ м} = 0.84 \text{ м}$.

Отрезок $NM = 2.7 \text{ дм} = 2.7 \times 0.1 \text{ м} = 0.27 \text{ м}$.

Отрезок $MK = 0.9 \text{ дм} = 0.9 \times 0.1 \text{ м} = 0.09 \text{ м}$.

Найти:

Сторона $PN$.

Сторона $PK$.

Решение:

1. Найдем длину стороны $NK$. Сторона $NK$ состоит из суммы отрезков $NM$ и $MK$:

$NK = NM + MK$

$NK = 0.27 \text{ м} + 0.09 \text{ м} = 0.36 \text{ м}$

2. Запишем формулу периметра треугольника $PNK$. Периметр треугольника равен сумме длин всех его сторон:

$P_{PNK} = PN + PK + NK$

Подставим известные значения периметра и стороны $NK$:

$0.84 \text{ м} = PN + PK + 0.36 \text{ м}$

3. Выразим сумму сторон $PN$ и $PK$ из уравнения периметра:

$PN + PK = 0.84 \text{ м} - 0.36 \text{ м}$

$PN + PK = 0.48 \text{ м}$

4. Применим теорему о биссектрисе угла треугольника. Согласно этой теореме, биссектриса угла треугольника делит противоположную сторону на отрезки, пропорциональные прилежащим сторонам. Для биссектрисы $PM$ треугольника $PNK$ это означает:

$\frac{PN}{PK} = \frac{NM}{MK}$

Подставим известные значения отрезков $NM$ и $MK$:

$\frac{PN}{PK} = \frac{0.27 \text{ м}}{0.09 \text{ м}}$

$\frac{PN}{PK} = 3$

5. Из полученного отношения выразим длину стороны $PN$ через длину стороны $PK$:

$PN = 3 \times PK$

6. Теперь у нас есть система из двух уравнений с двумя неизвестными ($PN$ и $PK$):

1) $PN + PK = 0.48$

2) $PN = 3 \times PK$

Подставим выражение для $PN$ из второго уравнения в первое:

$(3 \times PK) + PK = 0.48$

$4 \times PK = 0.48$

7. Найдем длину стороны $PK$:

$PK = \frac{0.48}{4}$

$PK = 0.12 \text{ м}$

8. Найдем длину стороны $PN$, используя соотношение $PN = 3 \times PK$:

$PN = 3 \times 0.12 \text{ м}$

$PN = 0.36 \text{ м}$

Ответ:

Сторона $PN = 0.36 \text{ м}$

Сторона $PK = 0.12 \text{ м}$