Номер 203, страница 102 - гдз по геометрии 8 класс учебник Солтан, Солтан

203. Постройте острый угол:

а) синус которого равен 0,4;

б) косинус которого равен $5/8$;

в) тангенс которого равен 1,5;

г) котангенс которого равен 0,75.

а) синус которого равен 0,4

Дано: Острый угол $\alpha$, $\sin(\alpha) = 0.4$.

Перевод данных в систему СИ: Данные представлены в виде безразмерной величины (отношения сторон), поэтому перевод в систему СИ не требуется.

Найти: Построить угол $\alpha$.

Решение:
По определению синуса острого угла в прямоугольном треугольнике, синус угла равен отношению длины противолежащего катета к длине гипотенузы: $\sin(\alpha) = \frac{\text{противолежащий катет}}{\text{гипотенуза}}$.
Так как $\sin(\alpha) = 0.4 = \frac{4}{10} = \frac{2}{5}$, мы можем рассмотреть прямоугольный треугольник, у которого длина противолежащего катета относится к длине гипотенузы как 2 к 5. Для удобства построения, выберем длину противолежащего катета равной 2 условным единицам, а длину гипотенузы – 5 условным единицам.
Построение угла $\alpha$:
1. Начертите луч CX. Он будет частью одной из сторон искомого прямоугольного треугольника.
2. В точке C (начале луча CX) постройте перпендикуляр CY к лучу CX. Таким образом, $\angle XCY = 90^\circ$.
3. На луче CY от точки C отложите отрезок CB длиной 2 условные единицы. Это будет противолежащий катет для искомого угла.
4. Из точки B как из центра проведите дугу радиусом 5 условных единиц (длина гипотенузы) так, чтобы она пересекла луч CX. Точку пересечения обозначьте A.
5. Соедините точки A и B. Отрезок AB является гипотенузой построенного прямоугольного треугольника ABC.
6. Угол $\angle CAB$ является искомым углом $\alpha$, так как в прямоугольном треугольнике ABC (с прямым углом при вершине C) $\sin(\angle CAB) = \frac{BC}{AB} = \frac{2}{5} = 0.4$.

Ответ: Угол построен согласно описанию.

б) косинус которого равен $\frac{5}{8}$

Дано: Острый угол $\alpha$, $\cos(\alpha) = \frac{5}{8}$.

Перевод данных в систему СИ: Данные представлены в виде безразмерной величины (отношения сторон), поэтому перевод в систему СИ не требуется.

Найти: Построить угол $\alpha$.

Решение:
По определению косинуса острого угла в прямоугольном треугольнике, косинус угла равен отношению длины прилежащего катета к длине гипотенузы: $\cos(\alpha) = \frac{\text{прилежащий катет}}{\text{гипотенуза}}$.
Мы имеем $\cos(\alpha) = \frac{5}{8}$. Мы можем рассмотреть прямоугольный треугольник, у которого длина прилежащего катета относится к длине гипотенузы как 5 к 8. Для удобства построения, выберем длину прилежащего катета равной 5 условным единицам, а длину гипотенузы – 8 условным единицам.
Построение угла $\alpha$:
1. Начертите луч CX.
2. В точке C постройте перпендикуляр CY к лучу CX.
3. На луче CX от точки C отложите отрезок CA длиной 5 условных единиц. Это будет прилежащий катет для искомого угла.
4. Из точки A как из центра проведите дугу радиусом 8 условных единиц (длина гипотенузы) так, чтобы она пересекла луч CY. Точку пересечения обозначьте B.
5. Соедините точки A и B. Отрезок AB является гипотенузой построенного прямоугольного треугольника ABC.
6. Угол $\angle CAB$ является искомым углом $\alpha$, так как в прямоугольном треугольнике ABC (с прямым углом при вершине C) $\cos(\angle CAB) = \frac{AC}{AB} = \frac{5}{8}$.

Ответ: Угол построен согласно описанию.

в) тангенс которого равен 1,5

Дано: Острый угол $\alpha$, $\tan(\alpha) = 1.5$.

Перевод данных в систему СИ: Данные представлены в виде безразмерной величины (отношения сторон), поэтому перевод в систему СИ не требуется.

Найти: Построить угол $\alpha$.

Решение:
По определению тангенса острого угла в прямоугольном треугольнике, тангенс угла равен отношению длины противолежащего катета к длине прилежащего катета: $\tan(\alpha) = \frac{\text{противолежащий катет}}{\text{прилежащий катет}}$.
Мы имеем $\tan(\alpha) = 1.5 = \frac{15}{10} = \frac{3}{2}$. Мы можем рассмотреть прямоугольный треугольник, у которого длина противолежащего катета относится к длине прилежащего катета как 3 к 2. Для удобства построения, выберем длину противолежащего катета равной 3 условным единицам, а длину прилежащего катета – 2 условным единицам.
Построение угла $\alpha$:
1. Начертите луч CX.
2. В точке C постройте перпендикуляр CY к лучу CX.
3. На луче CX от точки C отложите отрезок CA длиной 2 условные единицы. Это будет прилежащий катет для искомого угла.
4. На луче CY от точки C отложите отрезок CB длиной 3 условные единицы. Это будет противолежащий катет для искомого угла.
5. Соедините точки A и B.
6. Угол $\angle CAB$ является искомым углом $\alpha$, так как в прямоугольном треугольнике ABC (с прямым углом при вершине C) $\tan(\angle CAB) = \frac{BC}{AC} = \frac{3}{2} = 1.5$.

Ответ: Угол построен согласно описанию.

г) котангенс которого равен 0,75

Дано: Острый угол $\alpha$, $\cot(\alpha) = 0.75$.

Перевод данных в систему СИ: Данные представлены в виде безразмерной величины (отношения сторон), поэтому перевод в систему СИ не требуется.

Найти: Построить угол $\alpha$.

Решение:
По определению котангенса острого угла в прямоугольном треугольнике, котангенс угла равен отношению длины прилежащего катета к длине противолежащего катета: $\cot(\alpha) = \frac{\text{прилежащий катет}}{\text{противолежащий катет}}$.
Мы имеем $\cot(\alpha) = 0.75 = \frac{75}{100} = \frac{3}{4}$. Мы можем рассмотреть прямоугольный треугольник, у которого длина прилежащего катета относится к длине противолежащего катета как 3 к 4. Для удобства построения, выберем длину прилежащего катета равной 3 условным единицам, а длину противолежащего катета – 4 условным единицам.
Построение угла $\alpha$:
1. Начертите луч CX.
2. В точке C постройте перпендикуляр CY к лучу CX.
3. На луче CX от точки C отложите отрезок CA длиной 3 условные единицы. Это будет прилежащий катет для искомого угла.
4. На луче CY от точки C отложите отрезок CB длиной 4 условные единицы. Это будет противолежащий катет для искомого угла.
5. Соедините точки A и B.
6. Угол $\angle CAB$ является искомым углом $\alpha$, так как в прямоугольном треугольнике ABC (с прямым углом при вершине C) $\cot(\angle CAB) = \frac{AC}{BC} = \frac{3}{4} = 0.75$.

Ответ: Угол построен согласно описанию.