Номер 209, страница 103 - гдз по геометрии 8 класс учебник Солтан, Солтан

a)

Дано:

Отрезок $AM = 8$ см

Проекция отрезка $AM$ на прямую $AC$ равна $5$ см

Отрезок $AN = 12$ см

Перевод в СИ:

$AM = 0.08$ м

Проекция отрезка $AM$ на прямую $AC$ равна $0.05$ м

$AN = 0.12$ м

Найти: Проекцию отрезка $AN$ на прямую $AB$.

Решение:

Пусть $\alpha$ - угол $BAC$.

Проекция отрезка $AM$ на прямую $AC$ определяется как произведение длины отрезка на косинус угла между отрезком и прямой, на которую он проецируется. В данном случае это $AM \cdot \cos(\alpha)$.

Из условия задачи известно, что эта проекция равна $5$ см:

$5 = 8 \cdot \cos(\alpha)$

Отсюда находим значение косинуса угла $\alpha$:

$\cos(\alpha) = \frac{5}{8}$

Теперь найдем проекцию отрезка $AN$ на прямую $AB$. Она также определяется как произведение длины отрезка $AN$ на косинус угла $\alpha$:

Проекция $AN$ на $AB = AN \cdot \cos(\alpha)$

Подставим известные значения:

Проекция $AN$ на $AB = 12 \cdot \frac{5}{8} = \frac{60}{8} = \frac{15}{2} = 7.5$ см.

Ответ: $7.5$ см

б)

Дано:

Проекция первого катета на гипотенузу $p_1 = 6$ см

Проекция второго катета на гипотенузу $p_2 = 4$ см

Перевод в СИ:

$p_1 = 0.06$ м

$p_2 = 0.04$ м

Найти: Острые углы прямоугольного треугольника.

Решение:

Пусть дан прямоугольный треугольник $ABC$ с прямым углом при вершине $C$. Пусть $CD$ - высота, опущенная из вершины прямого угла на гипотенузу $AB$. Тогда $AD$ и $BD$ - это проекции катетов $AC$ и $BC$ на гипотенузу $AB$ соответственно.

По условию, длины проекций катетов на гипотенузу равны $6$ см и $4$ см. Пусть $AD = 6$ см и $BD = 4$ см.

Длина гипотенузы $AB$ равна сумме длин проекций катетов:

$AB = AD + BD = 6 + 4 = 10$ см.

Для прямоугольного треугольника справедливо соотношение: квадрат катета равен произведению гипотенузы на проекцию этого катета на гипотенузу.

Для катета $AC$ (обозначим его $b$):

$b^2 = AB \cdot AD$

$b^2 = 10 \cdot 6 = 60$

$b = AC = \sqrt{60} = \sqrt{4 \cdot 15} = 2\sqrt{15}$ см.

Для катета $BC$ (обозначим его $a$):

$a^2 = AB \cdot BD$

$a^2 = 10 \cdot 4 = 40$

$a = BC = \sqrt{40} = \sqrt{4 \cdot 10} = 2\sqrt{10}$ см.

Теперь найдем острые углы треугольника $ABC$, используя тригонометрические функции.

Для угла $A$:

$\cos(\angle A) = \frac{\text{прилежащий катет}}{\text{гипотенуза}} = \frac{AC}{AB} = \frac{b}{AB} = \frac{2\sqrt{15}}{10} = \frac{\sqrt{15}}{5}$.

$\angle A = \arccos\left(\frac{\sqrt{15}}{5}\right)$.

Вычислим значение: $\sqrt{15} \approx 3.87298$.

$\cos(\angle A) \approx \frac{3.87298}{5} \approx 0.774596$.

$\angle A \approx 39.231^\circ$. Округляем до $1^\circ$, получаем $\angle A \approx 39^\circ$.

Для угла $B$:

$\cos(\angle B) = \frac{\text{прилежащий катет}}{\text{гипотенуза}} = \frac{BC}{AB} = \frac{a}{AB} = \frac{2\sqrt{10}}{10} = \frac{\sqrt{10}}{5}$.

$\angle B = \arccos\left(\frac{\sqrt{10}}{5}\right)$.

Вычислим значение: $\sqrt{10} \approx 3.16228$.

$\cos(\angle B) \approx \frac{3.16228}{5} \approx 0.632456$.

$\angle B \approx 50.769^\circ$. Округляем до $1^\circ$, получаем $\angle B \approx 51^\circ$.

Проверка: сумма острых углов прямоугольного треугольника должна быть $90^\circ$.

$39^\circ + 51^\circ = 90^\circ$. Расчеты верны.

Ответ: Острые углы треугольника примерно равны $39^\circ$ и $51^\circ$.