Номер 202, страница 102 - гдз по геометрии 8 класс учебник Солтан, Солтан

202. В треугольник $ABC$ вписан ромб $AMNK$ так, что угол $A$ у них общий, а точки $M, N$ и $K$ лежат на сторонах треугольника $AB$, $BC$ и $AC$ соответственно. Найдите $BN$ и $NC$, если $AB = 10$ см, $BC = 9$ см, $AC = 8$ см.

Дано:

Треугольник $ABC$.

Ромб $AMNK$ вписан в $ABC$.

Угол $A$ является общим для треугольника $ABC$ и ромба $AMNK$.

Точки $M$, $N$, $K$ лежат на сторонах $AB$, $BC$, $AC$ соответственно.

$AB = 10$ см

$BC = 9$ см

$AC = 8$ см

Перевод в СИ:

$AB = 10 \text{ см} = 0.1 \text{ м}$

$BC = 9 \text{ см} = 0.09 \text{ м}$

$AC = 8 \text{ см} = 0.08 \text{ м}$

Найти:

$BN$

$NC$

Решение:

Пусть сторона ромба $AMNK$ равна $x$. Так как $M$ лежит на $AB$, $K$ на $AC$, то $AM = AK = x$.

Поскольку $AMNK$ — ромб, его противоположные стороны параллельны. Следовательно, $MN \parallel AK$. Так как $AK$ лежит на $AC$, то $MN \parallel AC$.

Из параллельности $MN \parallel AC$ следует, что треугольник $BMN$ подобен треугольнику $BAC$ по двум углам (угол $B$ общий, $\angle BMN = \angle BAC$ как соответственные углы при параллельных прямых $MN$ и $AC$ и секущей $AB$).

Из подобия треугольников $BMN$ и $BAC$ следует соотношение сторон:

$\frac{BM}{BA} = \frac{BN}{BC} = \frac{MN}{AC}$

Мы знаем, что $AM = x$, $AB = 10$, поэтому $BM = AB - AM = 10 - x$.

Также мы знаем, что $MN = x$ (сторона ромба).

Подставим эти значения в соотношение:

$\frac{10 - x}{10} = \frac{x}{8}$

Решим это уравнение для $x$:

$8(10 - x) = 10x$

$80 - 8x = 10x$

$80 = 18x$

$x = \frac{80}{18} = \frac{40}{9}$ см

Теперь, когда мы знаем $x$, мы можем найти $BN$ из соотношения подобия $\frac{BN}{BC} = \frac{MN}{AC}$:

$\frac{BN}{9} = \frac{x}{8}$

$\frac{BN}{9} = \frac{40/9}{8}$

$BN = 9 \cdot \frac{40}{9 \cdot 8}$

$BN = \frac{40}{8}$

$BN = 5$ см

Для нахождения $NC$ воспользуемся тем, что $N$ лежит на $BC$, то есть $BC = BN + NC$:

$NC = BC - BN$

$NC = 9 - 5$

$NC = 4$ см

Ответ: $BN = 5$ см, $NC = 4$ см