Номер 195, страница 98 - гдз по геометрии 8 класс учебник Солтан, Солтан

195. К окружности радиуса 12 см проведены две касательные, угол между которыми равен $40^\circ$. Найдите с точностью до 0,1 см расстояние от центра окружности до точки пересечения касательных.

Дано:

радиус окружности $r = 12 \, \text{см}$

угол между касательными $\alpha = 40^\circ$

Перевод в СИ:

$r = 12 \, \text{см} = 0.12 \, \text{м}$

$\alpha = 40^\circ$

Найти:

расстояние от центра окружности до точки пересечения касательных $d$

Решение:

Пусть O - центр окружности, P - точка пересечения касательных, A и B - точки касания. Согласно свойствам касательных, проведенных из одной точки к окружности, отрезки касательных PA и PB равны по длине, а радиусы OA и OB, проведенные в точки касания A и B соответственно, перпендикулярны касательным PA и PB.

Таким образом, треугольники $\triangle OAP$ и $\triangle OBP$ являются прямоугольными с прямыми углами в точках A и B.

Отрезок OP, соединяющий центр окружности с точкой пересечения касательных, является биссектрисой угла между касательными $\angle APB$.

Следовательно, угол $\angle APO$ равен половине угла $\angle APB$:

$\angle APO = \frac{\angle APB}{2} = \frac{40^\circ}{2} = 20^\circ$

В прямоугольном треугольнике $\triangle OAP$ (с прямым углом при вершине A) нам известен катет $OA$ (который является радиусом $r$) и угол $\angle APO$. Мы ищем гипотенузу $OP$, которая является расстоянием $d$ от центра окружности до точки пересечения касательных.

Используем тригонометрическое определение синуса:

$\sin(\angle APO) = \frac{\text{противолежащий катет}}{\text{гипотенуза}} = \frac{OA}{OP}$

Выразим $OP$ из этого соотношения:

$OP = \frac{OA}{\sin(\angle APO)}$

Подставим известные значения:

$d = \frac{r}{\sin(20^\circ)}$

$d = \frac{12 \, \text{см}}{\sin(20^\circ)}$

Вычислим значение $\sin(20^\circ)$: $\sin(20^\circ) \approx 0.34202014$

Теперь вычислим $d$:

$d \approx \frac{12}{0.34202014} \approx 35.08502 \, \text{см}$

Округлим результат до одной десятой сантиметра, как того требует условие задачи:

$d \approx 35.1 \, \text{см}$

Ответ:

Расстояние от центра окружности до точки пересечения касательных составляет $35.1 \, \text{см}$.