Номер 193, страница 98 - гдз по геометрии 8 класс учебник Солтан, Солтан

193. a) Даны катеты 21 см и 18 см прямоугольного треугольника. Найдите его острые углы с точностью до $1^\circ$ и гипотенузу.

б) Даны катет 52 см и гипотенуза 67 см прямоугольного треугольника. Найдите с точностью до $1^\circ$ острые углы и второй катет этого треугольника.

a)

Дано:

Катет $a = 21 \text{ см}$

Катет $b = 18 \text{ см}$

Перевод в СИ:

Катет $a = 0.21 \text{ м}$

Катет $b = 0.18 \text{ м}$

Найти:

Гипотенуза $c$, острые углы $\alpha$, $\beta$

Решение:

1. Найдем гипотенузу $c$ по теореме Пифагора:

$c^2 = a^2 + b^2$

$c = \sqrt{a^2 + b^2} = \sqrt{(21 \text{ см})^2 + (18 \text{ см})^2} = \sqrt{441 \text{ см}^2 + 324 \text{ см}^2} = \sqrt{765 \text{ см}^2} \approx 27.66 \text{ см}$

2. Найдем острые углы с помощью тригонометрических функций. Пусть $\alpha$ - угол, противолежащий катету $a$, а $\beta$ - угол, противолежащий катету $b$.

Тангенс угла $\alpha$ равен отношению противолежащего катета к прилежащему:

$\tan \alpha = \frac{a}{b} = \frac{21}{18} \approx 1.1667$

$\alpha = \arctan(1.1667) \approx 49.399^\circ$

Округляем до $1^\circ$: $\alpha \approx 49^\circ$

Тангенс угла $\beta$ равен отношению противолежащего катета к прилежащему:

$\tan \beta = \frac{b}{a} = \frac{18}{21} \approx 0.8571$

$\beta = \arctan(0.8571) \approx 40.601^\circ$

Округляем до $1^\circ$: $\beta \approx 41^\circ$

Проверка: сумма острых углов в прямоугольном треугольнике должна быть $90^\circ$. $49^\circ + 41^\circ = 90^\circ$.

Ответ: Гипотенуза $c \approx 27.7 \text{ см}$, острые углы $\approx 49^\circ$ и $\approx 41^\circ$.

б)

Дано:

Катет $a = 52 \text{ см}$

Гипотенуза $c = 67 \text{ см}$

Перевод в СИ:

Катет $a = 0.52 \text{ м}$

Гипотенуза $c = 0.67 \text{ м}$

Найти:

Второй катет $b$, острые углы $\alpha$, $\beta$

Решение:

1. Найдем второй катет $b$ по теореме Пифагора:

$c^2 = a^2 + b^2 \Rightarrow b^2 = c^2 - a^2$

$b = \sqrt{c^2 - a^2} = \sqrt{(67 \text{ см})^2 - (52 \text{ см})^2} = \sqrt{4489 \text{ см}^2 - 2704 \text{ см}^2} = \sqrt{1785 \text{ см}^2} \approx 42.25 \text{ см}$

2. Найдем острые углы. Пусть $\alpha$ - угол, противолежащий катету $a$, а $\beta$ - угол, прилежащий к катету $a$ (противолежащий катету $b$).

Синус угла $\alpha$ равен отношению противолежащего катета к гипотенузе:

$\sin \alpha = \frac{a}{c} = \frac{52}{67} \approx 0.7761$

$\alpha = \arcsin(0.7761) \approx 50.91^\circ$

Округляем до $1^\circ$: $\alpha \approx 51^\circ$

Сумма острых углов в прямоугольном треугольнике равна $90^\circ$, поэтому:

$\beta = 90^\circ - \alpha \approx 90^\circ - 51^\circ = 39^\circ$

Можно также найти $\beta$ с помощью косинуса или синуса:

$\cos \beta = \frac{a}{c} = \frac{52}{67} \approx 0.7761$

$\beta = \arccos(0.7761) \approx 39.09^\circ$

Округляем до $1^\circ$: $\beta \approx 39^\circ$. Результаты совпадают.

Ответ: Второй катет $b \approx 42.3 \text{ см}$, острые углы $\approx 51^\circ$ и $\approx 39^\circ$.