Номер 187, страница 94 - гдз по геометрии 8 класс учебник Солтан, Солтан

187. a) Периметр равнобедренного треугольника равен 64 м, а косинус угла при его основании равен 0,28. Найдите высоты треугольника.

б) Дан равнобедренный треугольник с основанием 6 см и углом $80^\circ$ при его вершине. Найдите с точностью до 0,1 см радиус окружности: 1) вписанной в этот треугольник; 2) описанной около этого треугольника.

а)

Дано:

Периметр равнобедренного треугольника $P = 64$ м

Косинус угла при основании $\cos(\alpha) = 0.28$

Найти:

Высоты треугольника ($h_a$, $h_b$, $h_c$)

Решение:

Пусть основание равнобедренного треугольника равно $a$, а боковые стороны равны $b$.

Периметр треугольника задается формулой: $P = a + 2b$.

Пусть $\alpha$ — угол при основании треугольника. В прямоугольном треугольнике, образованном высотой, проведенной к основанию ($h_a$), половиной основания ($a/2$) и боковой стороной $b$, косинус угла $\alpha$ равен отношению прилежащего катета к гипотенузе:

$\cos(\alpha) = \frac{a/2}{b} = \frac{a}{2b}$

Из этого соотношения выразим $a$: $a = 2b \cos(\alpha)$.

Подставим это выражение для $a$ в формулу периметра:

$P = 2b \cos(\alpha) + 2b = 2b(\cos(\alpha) + 1)$

Теперь подставим известные значения: $P = 64$ м и $\cos(\alpha) = 0.28$:

$64 = 2b(0.28 + 1)$

$64 = 2b(1.28)$

$64 = 2.56b$

Найдем длину боковой стороны $b$:

$b = \frac{64}{2.56} = 25$ м

Теперь найдем длину основания $a$:

$a = 2b \cos(\alpha) = 2 \cdot 25 \cdot 0.28 = 50 \cdot 0.28 = 14$ м

Проверим периметр: $P = 14 + 2 \cdot 25 = 14 + 50 = 64$ м. Вычисления сторон верны.

Найдем высоту $h_a$, проведенную к основанию $a$. В прямоугольном треугольнике, образованном высотой $h_a$, половиной основания $a/2$ и боковой стороной $b$, по теореме Пифагора:

$h_a^2 = b^2 - (a/2)^2$

$h_a^2 = 25^2 - (14/2)^2 = 25^2 - 7^2 = 625 - 49 = 576$

$h_a = \sqrt{576} = 24$ м

В равнобедренном треугольнике две высоты, проведенные к равным боковым сторонам, равны между собой ($h_b = h_c$). Площадь треугольника $S$ может быть выражена как $S = \frac{1}{2} \cdot \text{сторона} \cdot \text{высота к этой стороне}$. Таким образом:

$S = \frac{1}{2} a h_a = \frac{1}{2} b h_b$

Приравняем выражения для площади: $a h_a = b h_b$

Подставим известные значения:

$14 \cdot 24 = 25 \cdot h_b$

$336 = 25 h_b$

$h_b = \frac{336}{25} = 13.44$ м

Ответ: Высота, проведенная к основанию, равна $24$ м. Высоты, проведенные к боковым сторонам, равны $13.44$ м.

б)

Дано:

Равнобедренный треугольник

Основание $a = 6$ см

Угол при вершине $\beta = 80^\circ$

Найти:

1) Радиус вписанной окружности $r$ (с точностью до 0.1 см)

2) Радиус описанной окружности $R$ (с точностью до 0.1 см)

Решение:

Сначала найдем углы треугольника. Сумма углов в треугольнике равна $180^\circ$. В равнобедренном треугольнике углы при основании равны. Пусть $\alpha$ — углы при основании.

$2\alpha + \beta = 180^\circ$

$2\alpha + 80^\circ = 180^\circ$

$2\alpha = 100^\circ$

$\alpha = 50^\circ$

Найдем длину боковой стороны $b$ используя теорему синусов:

$\frac{a}{\sin(\beta)} = \frac{b}{\sin(\alpha)}$

$b = \frac{a \sin(\alpha)}{\sin(\beta)} = \frac{6 \sin(50^\circ)}{\sin(80^\circ)}$

Используем приближенные значения синусов:

$\sin(50^\circ) \approx 0.766044$

$\sin(80^\circ) \approx 0.984808$

$b \approx \frac{6 \cdot 0.766044}{0.984808} \approx \frac{4.596264}{0.984808} \approx 4.6679$ см

1) Радиус вписанной окружности:

Для равнобедренного треугольника с основанием $a$ и углами при основании $\alpha$, радиус вписанной окружности $r$ можно найти по формуле:

$r = \frac{a}{2} \tan(\alpha/2)$

Подставим значения:

$r = \frac{6}{2} \tan(50^\circ/2) = 3 \tan(25^\circ)$

$\tan(25^\circ) \approx 0.466308

$r \approx 3 \cdot 0.466308 = 1.398924$ см

С точностью до 0.1 см, $r \approx 1.4$ см.

2) Радиус описанной окружности:

Радиус описанной окружности $R$ можно найти по теореме синусов:

$\frac{a}{\sin(\beta)} = 2R$

$R = \frac{a}{2 \sin(\beta)}$

Подставим значения:

$R = \frac{6}{2 \sin(80^\circ)} = \frac{3}{\sin(80^\circ)}$

$R \approx \frac{3}{0.984808} \approx 3.046338$ см

С точностью до 0.1 см, $R \approx 3.0$ см.

Ответ: 1) Радиус вписанной окружности $r \approx 1.4$ см; 2) Радиус описанной окружности $R \approx 3.0$ см.