Номер 186, страница 94 - гдз по геометрии 8 класс учебник Солтан, Солтан

186. Докажите, что для любого острого угла $a$ верно равенство

$\text{tg } \alpha + \text{ctg } \alpha = \frac{1}{\sin \alpha \cdot \cos \alpha}$

Дано:

Требуется доказать равенство $tg \alpha + ctg \alpha = \frac{1}{\sin \alpha \cdot \cos \alpha}$ для любого острого угла $\alpha$.

Найти:

Доказать данное равенство.

Решение:

Рассмотрим левую часть данного равенства: $tg \alpha + ctg \alpha$.

Известно, что тангенс и котангенс острого угла могут быть выражены через синус и косинус следующим образом: $tg \alpha = \frac{\sin \alpha}{\cos \alpha}$ и $ctg \alpha = \frac{\cos \alpha}{\sin \alpha}$.

Подставим эти выражения в левую часть равенства:

$tg \alpha + ctg \alpha = \frac{\sin \alpha}{\cos \alpha} + \frac{\cos \alpha}{\sin \alpha}$

Для того чтобы сложить эти дроби, приведем их к общему знаменателю, который равен произведению $\sin \alpha \cdot \cos \alpha$:

$ \frac{\sin \alpha}{\cos \alpha} + \frac{\cos \alpha}{\sin \alpha} = \frac{\sin \alpha \cdot \sin \alpha}{\cos \alpha \cdot \sin \alpha} + \frac{\cos \alpha \cdot \cos \alpha}{\sin \alpha \cdot \cos \alpha} $

Выполним умножение в числителях:

$ \frac{\sin^2 \alpha}{\sin \alpha \cdot \cos \alpha} + \frac{\cos^2 \alpha}{\sin \alpha \cdot \cos \alpha} = \frac{\sin^2 \alpha + \cos^2 \alpha}{\sin \alpha \cdot \cos \alpha} $

Согласно основному тригонометрическому тождеству, сумма квадратов синуса и косинуса одного и того же угла равна единице: $\sin^2 \alpha + \cos^2 \alpha = 1$.

Подставим это тождество в числитель полученного выражения:

$ \frac{\sin^2 \alpha + \cos^2 \alpha}{\sin \alpha \cdot \cos \alpha} = \frac{1}{\sin \alpha \cdot \cos \alpha} $

Мы получили правую часть исходного равенства. Таким образом, тождество $tg \alpha + ctg \alpha = \frac{1}{\sin \alpha \cdot \cos \alpha}$ доказано.

Данное равенство верно для любого острого угла $\alpha$, так как для острого угла $\alpha$ значения $\sin \alpha$ и $\cos \alpha$ всегда больше нуля, что гарантирует, что знаменатель $\sin \alpha \cdot \cos \alpha$ не равен нулю и выражения $tg \alpha$ и $ctg \alpha$ определены.

Ответ:

Равенство $tg \alpha + ctg \alpha = \frac{1}{\sin \alpha \cdot \cos \alpha}$ доказано.