Номер 182, страница 92 - гдз по геометрии 8 класс учебник Солтан, Солтан

182. Хорда, равная 8 см, стягивает дугу в $72^\circ$. Найдите с точностью до 0,1 см длину хорды, стягивающей дугу в $144^\circ$.

Дано

длина первой хорды $l_1 = 8$ см

угол дуги, стягиваемой первой хордой $\alpha_1 = 72^\circ$

угол дуги, стягиваемой второй хордой $\alpha_2 = 144^\circ$

точность до $0,1$ см

Найти:

длина второй хорды $l_2$

Решение

Длина хорды $l$ в окружности связана с радиусом $R$ окружности и центральным углом $\alpha$, который стягивает эта хорда (или углом дуги, который она стягивает), формулой:

$l = 2R \sin\left(\frac{\alpha}{2}\right)$

Используем данные для первой хорды, чтобы найти радиус $R$ окружности:

$l_1 = 2R \sin\left(\frac{\alpha_1}{2}\right)$

$8 = 2R \sin\left(\frac{72^\circ}{2}\right)$

$8 = 2R \sin(36^\circ)$

Выразим радиус $R$:

$R = \frac{8}{2 \sin(36^\circ)}$

$R = \frac{4}{\sin(36^\circ)}$

Теперь используем найденный радиус $R$ и угол для второй хорды, чтобы найти ее длину $l_2$:

$l_2 = 2R \sin\left(\frac{\alpha_2}{2}\right)$

$l_2 = 2R \sin\left(\frac{144^\circ}{2}\right)$

$l_2 = 2R \sin(72^\circ)$

Подставим выражение для $R$:

$l_2 = 2 \left(\frac{4}{\sin(36^\circ)}\right) \sin(72^\circ)$

$l_2 = \frac{8 \sin(72^\circ)}{\sin(36^\circ)}$

Воспользуемся тригонометрическим тождеством для синуса двойного угла: $\sin(2x) = 2 \sin(x) \cos(x)$. В нашем случае, $x = 36^\circ$, так что $2x = 72^\circ$. Таким образом, $\sin(72^\circ) = 2 \sin(36^\circ) \cos(36^\circ)$.

Подставим это в выражение для $l_2$:

$l_2 = \frac{8 \cdot (2 \sin(36^\circ) \cos(36^\circ))}{\sin(36^\circ)}$

$l_2 = 16 \cos(36^\circ)$

Вычислим значение $\cos(36^\circ)$:

$\cos(36^\circ) \approx 0.809017$

Теперь вычислим $l_2$:

$l_2 \approx 16 \times 0.809017$

$l_2 \approx 12.944272$ см

Округлим результат до 0,1 см, как того требует задача:

$l_2 \approx 12.9$ см

Ответ:

Длина хорды, стягивающей дугу в 144°, равна примерно $12.9$ см.