Номер 179, страница 92 - гдз по геометрии 8 класс учебник Солтан, Солтан

179. a) Найдите с точностью до 1° острые углы прямоугольного треугольника, в котором:

1) гипотенуза равна 29 см, а один из катетов – 20 см;

2) катеты равны 5 см и 7 см.

б) Существует ли треугольник со сторонами:

1) 2 см, 2 см и $\sqrt{8}$ см;

2) $\sqrt{2}$ дм, $\sqrt{3}$ дм и $\sqrt{5}$ дм?

Если существует, то найдите с точностью до 1° его меньший угол.

a)

1) гипотенуза равна 29 см, а один из катетов – 20 см

Дано:

прямоугольный треугольник;

гипотенуза $c = 29 \text{ см}$;

катет $a = 20 \text{ см}$.

Перевод в СИ:

$c = 29 \text{ см} = 0.29 \text{ м}$;

$a = 20 \text{ см} = 0.20 \text{ м}$.

Найти:

острые углы $\alpha, \beta$ с точностью до $1^\circ$.

Решение:

По теореме Пифагора найдем второй катет $b$: $a^2 + b^2 = c^2$.

$b = \sqrt{c^2 - a^2} = \sqrt{29^2 - 20^2} = \sqrt{841 - 400} = \sqrt{441} = 21 \text{ см}$.

Найдем острые углы, используя тригонометрические функции. Пусть $\alpha$ - угол, противолежащий катету $a$, а $\beta$ - угол, противолежащий катету $b$.

$\sin \alpha = \frac{a}{c} = \frac{20}{29}$.

$\alpha = \arcsin\left(\frac{20}{29}\right) \approx 43.60^\circ$.

Округляем до $1^\circ$: $\alpha \approx 44^\circ$.

Так как сумма острых углов в прямоугольном треугольнике равна $90^\circ$, то $\beta = 90^\circ - \alpha$.

$\beta = 90^\circ - 44^\circ = 46^\circ$.

Для проверки можем использовать косинус угла $\beta$:

$\cos \beta = \frac{a}{c} = \frac{20}{29}$.

$\beta = \arccos\left(\frac{20}{29}\right) \approx 46.40^\circ$.

Округляем до $1^\circ$: $\beta \approx 46^\circ$.

Ответ: $44^\circ$ и $46^\circ$.

2) катеты равны 5 см и 7 см

Дано:

прямоугольный треугольник;

катет $a = 5 \text{ см}$;

катет $b = 7 \text{ см}$.

Перевод в СИ:

$a = 5 \text{ см} = 0.05 \text{ м}$;

$b = 7 \text{ см} = 0.07 \text{ м}$.

Найти:

острые углы $\alpha, \beta$ с точностью до $1^\circ$.

Решение:

Найдем острые углы, используя тангенс. Пусть $\alpha$ - угол, противолежащий катету $a$, а $\beta$ - угол, противолежащий катету $b$.

$\tan \alpha = \frac{a}{b} = \frac{5}{7}$.

$\alpha = \arctan\left(\frac{5}{7}\right) \approx 35.53^\circ$.

Округляем до $1^\circ$: $\alpha \approx 36^\circ$.

Так как сумма острых углов в прямоугольном треугольнике равна $90^\circ$, то $\beta = 90^\circ - \alpha$.

$\beta = 90^\circ - 36^\circ = 54^\circ$.

Для проверки можем использовать тангенс угла $\beta$:

$\tan \beta = \frac{b}{a} = \frac{7}{5}$.

$\beta = \arctan\left(\frac{7}{5}\right) \approx 54.46^\circ$.

Округляем до $1^\circ$: $\beta \approx 54^\circ$.

Ответ: $36^\circ$ и $54^\circ$.

б) Существует ли треугольник со сторонами:

1) 2 см, 2 см и $\sqrt{8}$ см

Дано:

стороны $x = 2 \text{ см}$, $y = 2 \text{ см}$, $z = \sqrt{8} \text{ см}$.

Перевод в СИ:

$x = 2 \text{ см} = 0.02 \text{ м}$;

$y = 2 \text{ см} = 0.02 \text{ м}$;

$z = \sqrt{8} \text{ см} \approx 2.828 \text{ см} = 0.02828 \text{ м}$.

Найти:

существует ли треугольник; если да, то меньший угол с точностью до $1^\circ$.

Решение:

Проверим неравенство треугольника: сумма длин любых двух сторон должна быть больше длины третьей стороны.

$x + y > z \implies 2 + 2 > \sqrt{8} \implies 4 > 2\sqrt{2} \implies 4 > 2.828$ (Верно).

$x + z > y \implies 2 + \sqrt{8} > 2$ (Верно, так как $\sqrt{8} > 0$).

$y + z > x \implies 2 + \sqrt{8} > 2$ (Верно, так как $\sqrt{8} > 0$).

Так как все неравенства выполняются, треугольник существует.

Проверим, является ли он прямоугольным, используя теорему, обратную теореме Пифагора. Наибольшая сторона - $\sqrt{8}$.

$x^2 + y^2 = 2^2 + 2^2 = 4 + 4 = 8$.

$z^2 = (\sqrt{8})^2 = 8$.

Так как $x^2 + y^2 = z^2$, данный треугольник является прямоугольным. Стороны $2$ см и $2$ см являются катетами, а $\sqrt{8}$ см - гипотенузой.

Это прямоугольный равнобедренный треугольник. В таком треугольнике острые углы равны между собой и составляют $45^\circ$. Меньший угол в нем равен одному из острых углов, то есть $45^\circ$.

Для подтверждения найдем угол $\alpha$, лежащий напротив стороны $x=2$ см (и такой же угол для стороны $y=2$ см), используя закон косинусов:

$x^2 = y^2 + z^2 - 2yz \cos \alpha$

$2^2 = 2^2 + (\sqrt{8})^2 - 2 \cdot 2 \cdot \sqrt{8} \cos \alpha$

$4 = 4 + 8 - 4\sqrt{8} \cos \alpha$

$0 = 8 - 4\sqrt{8} \cos \alpha$

$4\sqrt{8} \cos \alpha = 8$

$\cos \alpha = \frac{8}{4\sqrt{8}} = \frac{2}{\sqrt{8}} = \frac{2}{2\sqrt{2}} = \frac{1}{\sqrt{2}} = \frac{\sqrt{2}}{2}$.

$\alpha = 45^\circ$.

Ответ: Треугольник существует, меньший угол $45^\circ$.

2) $\sqrt{2}$ дм, $\sqrt{3}$ дм и $\sqrt{5}$ дм

Дано:

стороны $x = \sqrt{2} \text{ дм}$, $y = \sqrt{3} \text{ дм}$, $z = \sqrt{5} \text{ дм}$.

Перевод в СИ:

$x = \sqrt{2} \text{ дм} \approx 1.414 \text{ дм} = 0.1414 \text{ м}$;

$y = \sqrt{3} \text{ дм} \approx 1.732 \text{ дм} = 0.1732 \text{ м}$;

$z = \sqrt{5} \text{ дм} \approx 2.236 \text{ дм} = 0.2236 \text{ м}$.

Найти:

существует ли треугольник; если да, то меньший угол с точностью до $1^\circ$.

Решение:

Проверим неравенство треугольника: сумма длин любых двух сторон должна быть больше длины третьей стороны.

Сравним $x + y$ и $z$:

$x + y = \sqrt{2} + \sqrt{3} \approx 1.414 + 1.732 = 3.146$.

$z = \sqrt{5} \approx 2.236$.

Так как $3.146 > 2.236$, то $x + y > z$ (Верно).

Остальные неравенства ($x+z > y$ и $y+z > x$) также выполняются, так как $\sqrt{5}$ является наибольшей стороной.

Так как неравенство треугольника выполняется, треугольник существует.

Проверим, является ли он прямоугольным, используя теорему, обратную теореме Пифагора. Наибольшая сторона - $z = \sqrt{5}$.

$x^2 + y^2 = (\sqrt{2})^2 + (\sqrt{3})^2 = 2 + 3 = 5$.

$z^2 = (\sqrt{5})^2 = 5$.

Так как $x^2 + y^2 = z^2$, данный треугольник является прямоугольным. Катеты равны $\sqrt{2}$ дм и $\sqrt{3}$ дм, а гипотенуза - $\sqrt{5}$ дм.

Меньший угол в прямоугольном треугольнике лежит напротив меньшего катета. Меньший катет - $x = \sqrt{2}$ дм.

Пусть $\alpha$ - угол, противолежащий катету $\sqrt{2}$ дм. Тогда его тангенс равен отношению противолежащего катета к прилежащему катету:

$\tan \alpha = \frac{\sqrt{2}}{\sqrt{3}}$.

$\alpha = \arctan\left(\frac{\sqrt{2}}{\sqrt{3}}\right) \approx \arctan(0.816496) \approx 39.23^\circ$.

Округляем до $1^\circ$: $\alpha \approx 39^\circ$.

Ответ: Треугольник существует, меньший угол $39^\circ$.