Номер 174, страница 91 - гдз по геометрии 8 класс учебник Солтан, Солтан

174. Докажите неравенство:

а) $ \sin 30^\circ + \cos 45^\circ > 1 $

б) $ \operatorname{tg} 25^\circ < \operatorname{ctg} 25^\circ $

a)

Дано:

Неравенство: $\sin 30^\circ + \cos 45^\circ > 1$

Данные в СИ: Для углов в градусах перевод в радианы (единицы СИ) не требуется для данной задачи, так как используются табличные значения тригонометрических функций и их свойства, которые не зависят от системы измерения углов.

Найти:

Доказать неравенство.

Решение:

Для доказательства неравенства, найдем точные значения тригонометрических функций для заданных углов:

$\sin 30^\circ = \frac{1}{2}$

$\cos 45^\circ = \frac{\sqrt{2}}{2}$

Подставим эти значения в левую часть неравенства:

$\sin 30^\circ + \cos 45^\circ = \frac{1}{2} + \frac{\sqrt{2}}{2} = \frac{1 + \sqrt{2}}{2}$

Теперь необходимо сравнить полученное значение с 1. Рассмотрим неравенство:

$\frac{1 + \sqrt{2}}{2} > 1$

Умножим обе части неравенства на 2 (поскольку 2 > 0, знак неравенства не меняется):

$1 + \sqrt{2} > 2$

Вычтем 1 из обеих частей неравенства:

$\sqrt{2} > 1$

Возведем обе части неравенства в квадрат (поскольку обе части положительны, знак неравенства не меняется):

$(\sqrt{2})^2 > 1^2$

$2 > 1$

Так как неравенство $2 > 1$ является истинным, то и исходное неравенство $\sin 30^\circ + \cos 45^\circ > 1$ также является истинным.

Ответ: Доказано.

б)

Дано:

Неравенство: $\operatorname{tg} 25^\circ < \operatorname{ctg} 25^\circ$

Данные в СИ: Для углов в градусах перевод в радианы (единицы СИ) не требуется для данной задачи, так как используются свойства тригонометрических функций.

Найти:

Доказать неравенство.

Решение:

Для доказательства данного неравенства воспользуемся свойством котангенса, выражающего его через тангенс угла, дополняющего до $90^\circ$:

$\operatorname{ctg} x = \operatorname{tg} (90^\circ - x)$

Применим это тождество для угла $x = 25^\circ$:

$\operatorname{ctg} 25^\circ = \operatorname{tg} (90^\circ - 25^\circ) = \operatorname{tg} 65^\circ$

Теперь исходное неравенство можно переписать в виде:

$\operatorname{tg} 25^\circ < \operatorname{tg} 65^\circ$

Функция тангенса $\operatorname{tg} x$ является строго возрастающей на интервале $(0^\circ, 90^\circ)$. Поскольку углы $25^\circ$ и $65^\circ$ оба находятся в этом интервале, и $25^\circ < 65^\circ$, то из свойства возрастания функции тангенса следует, что:

$\operatorname{tg} 25^\circ < \operatorname{tg} 65^\circ$

Таким образом, исходное неравенство $\operatorname{tg} 25^\circ < \operatorname{ctg} 25^\circ$ доказано.

Ответ: Доказано.