Номер 171, страница 91 - гдз по геометрии 8 класс учебник Солтан, Солтан

171.

a) Найдите углы прямоугольного треугольника, если: 1) косинус одного из его острых углов равен $ \frac{1}{2} $; 2) синус одного из его острых углов равен $ \frac{\sqrt{2}}{2} $.

б) Чему равны тангенсы острых углов прямоугольного треугольника, если косинус одного из них равен $ \frac{\sqrt{3}}{2} $.

a)

Дано:

Прямоугольный треугольник.

1) Косинус одного из острых углов $\alpha$ равен $ \cos \alpha = \frac{1}{2} $.

2) Синус одного из острых углов $\alpha$ равен $ \sin \alpha = \frac{\sqrt{2}}{2} $.

Найти:

Все углы треугольника.

Решение:

1) Пусть один из острых углов прямоугольного треугольника равен $\alpha$.
Из условия дано, что $ \cos \alpha = \frac{1}{2} $.
Известно, что косинус угла $60^\circ$ равен $ \frac{1}{2} $. Следовательно, $ \alpha = 60^\circ $.
Поскольку треугольник является прямоугольным, один из его углов равен $90^\circ$.
Сумма острых углов в прямоугольном треугольнике равна $90^\circ$. Если один острый угол равен $ \alpha = 60^\circ $, то второй острый угол $ \beta $ будет равен $ \beta = 90^\circ - \alpha = 90^\circ - 60^\circ = 30^\circ $.
Таким образом, углы треугольника равны $90^\circ$, $60^\circ$ и $30^\circ$.

Ответ: $90^\circ$, $60^\circ$, $30^\circ$.

2) Пусть один из острых углов прямоугольного треугольника равен $\alpha$.
Из условия дано, что $ \sin \alpha = \frac{\sqrt{2}}{2} $.
Известно, что синус угла $45^\circ$ равен $ \frac{\sqrt{2}}{2} $. Следовательно, $ \alpha = 45^\circ $.
Поскольку треугольник является прямоугольным, один из его углов равен $90^\circ$.
Сумма острых углов в прямоугольном треугольнике равна $90^\circ$. Если один острый угол равен $ \alpha = 45^\circ $, то второй острый угол $ \beta $ будет равен $ \beta = 90^\circ - \alpha = 90^\circ - 45^\circ = 45^\circ $.
Таким образом, углы треугольника равны $90^\circ$, $45^\circ$ и $45^\circ$.

Ответ: $90^\circ$, $45^\circ$, $45^\circ$.

б)

Дано:

Прямоугольный треугольник.

Косинус одного из острых углов $\alpha$ равен $ \cos \alpha = \frac{\sqrt{3}}{2} $.

Найти:

Тангенсы острых углов.

Решение:

Пусть один из острых углов прямоугольного треугольника равен $\alpha$.
Из условия дано, что $ \cos \alpha = \frac{\sqrt{3}}{2} $.
Известно, что косинус угла $30^\circ$ равен $ \frac{\sqrt{3}}{2} $. Следовательно, $ \alpha = 30^\circ $.
Найдем тангенс этого угла:
$ \tan \alpha = \tan 30^\circ = \frac{\sin 30^\circ}{\cos 30^\circ} $.
Знаем, что $ \sin 30^\circ = \frac{1}{2} $ и $ \cos 30^\circ = \frac{\sqrt{3}}{2} $.
Тогда $ \tan \alpha = \frac{1/2}{\sqrt{3}/2} = \frac{1}{\sqrt{3}} = \frac{\sqrt{3}}{3} $.
Пусть второй острый угол прямоугольного треугольника равен $\beta$.
Сумма острых углов в прямоугольном треугольнике равна $90^\circ$.
Следовательно, $ \beta = 90^\circ - \alpha = 90^\circ - 30^\circ = 60^\circ $.
Найдем тангенс этого угла:
$ \tan \beta = \tan 60^\circ $.
Известно, что $ \tan 60^\circ = \sqrt{3} $.
Таким образом, тангенсы острых углов равны $ \frac{\sqrt{3}}{3} $ и $ \sqrt{3} $.

Ответ: Тангенсы острых углов равны $ \frac{\sqrt{3}}{3} $ и $ \sqrt{3} $.