Номер 169, страница 90 - гдз по геометрии 8 класс учебник Солтан, Солтан

169. Насыпь шоссейной дороги имеет в верхней части ширину 20 м, а в нижней части – 26 м. Какова высота насыпи, если угол наклона откосов равен $60^\circ$ (рисунок 87)?

Рисунок 87

Дано:

Ширина насыпи в верхней части (меньшее основание трапеции): $b = 20 \, \text{м}$

Ширина насыпи в нижней части (большее основание трапеции): $a = 26 \, \text{м}$

Угол наклона откосов: $\alpha = 60^\circ$

Перевод данных в систему СИ:

Все данные уже представлены в системе СИ (метры, градусы), перевод не требуется.

Найти:

Высота насыпи: $h$

Решение:

Поперечное сечение насыпи представляет собой равнобедренную трапецию. Опустим две высоты из вершин верхнего основания на нижнее основание. Эти высоты разделят трапецию на прямоугольник посередине и два равных прямоугольных треугольника по бокам. Ширина прямоугольника будет равна длине верхнего основания трапеции, то есть $20 \, \text{м}$.

Суммарная длина оснований двух прямоугольных треугольников будет равна разности между нижним и верхним основаниями трапеции:

$(a - b) = 26 \, \text{м} - 20 \, \text{м} = 6 \, \text{м}$

Поскольку трапеция равнобедренная, основания этих двух треугольников равны. Следовательно, длина основания каждого прямоугольного треугольника:

$\text{основание треугольника} = \frac{a - b}{2} = \frac{6 \, \text{м}}{2} = 3 \, \text{м}$

В каждом из прямоугольных треугольников угол наклона откосов $\alpha = 60^\circ$ является углом при основании, а высота насыпи $h$ является противолежащим катетом к этому углу. Длина основания треугольника ($3 \, \text{м}$) является прилежащим катетом.

Используем тригонометрическую функцию тангенса, которая определяется как отношение противолежащего катета к прилежащему катету:

$\tan(\alpha) = \frac{h}{\text{основание треугольника}}$

Выразим высоту $h$:

$h = \text{основание треугольника} \times \tan(\alpha)$

Подставим числовые значения:

$h = 3 \, \text{м} \times \tan(60^\circ)$

Известно, что значение $\tan(60^\circ) = \sqrt{3}$.

$h = 3 \times \sqrt{3} \, \text{м}$

Используем приближенное значение $\sqrt{3} \approx 1.73205$:

$h \approx 3 \times 1.73205 \, \text{м}$

$h \approx 5.19615 \, \text{м}$

Округлим до сотых:

$h \approx 5.20 \, \text{м}$

Ответ:

Высота насыпи составляет приблизительно $5.20 \, \text{м}$.