Номер 176, страница 92 - гдз по геометрии 8 класс учебник Солтан, Солтан

176. Что больше и почему:

a) $sin 60^\circ$ или $tg 30^\circ$;

б) $cos 45^\circ$ или $tg 45^\circ$;

в) $sin^2 60^\circ$ или $2sin 60^\circ - 1$;

г) $sin 40^\circ \cdot cos 20^\circ$ или 0,25?

а) sin 60° или tg 30°

Дано: Сравнить $\sin 60^\circ$ и $\tan 30^\circ$.

Найти: Что больше.

Решение

Найдем численные значения данных тригонометрических выражений:

$\sin 60^\circ = \frac{\sqrt{3}}{2}$

$\tan 30^\circ = \frac{\sin 30^\circ}{\cos 30^\circ} = \frac{1/2}{\sqrt{3}/2} = \frac{1}{\sqrt{3}} = \frac{\sqrt{3}}{3}$

Теперь сравним $\frac{\sqrt{3}}{2}$ и $\frac{\sqrt{3}}{3}$.

Для сравнения двух дробей с одинаковым числителем, больше будет та дробь, у которой знаменатель меньше. Поскольку $2 < 3$, то $\frac{1}{2} > \frac{1}{3}$. Следовательно, $\frac{\sqrt{3}}{2} > \frac{\sqrt{3}}{3}$.

Ответ: $\sin 60^\circ$ больше.

б) cos 45° или tg 45°

Дано: Сравнить $\cos 45^\circ$ и $\tan 45^\circ$.

Найти: Что больше.

Решение

Найдем численные значения данных тригонометрических выражений:

$\cos 45^\circ = \frac{\sqrt{2}}{2}$

$\tan 45^\circ = 1$

Теперь сравним $\frac{\sqrt{2}}{2}$ и $1$.

Приближенное значение $\sqrt{2} \approx 1.414$.

Тогда $\frac{\sqrt{2}}{2} \approx \frac{1.414}{2} = 0.707$.

Очевидно, что $0.707 < 1$.

Ответ: $\tan 45^\circ$ больше.

в) sin² 60° или 2sin 60° - 1

Дано: Сравнить $\sin^2 60^\circ$ и $2\sin 60^\circ - 1$.

Найти: Что больше.

Решение

Найдем численные значения данных тригонометрических выражений.

Значение $\sin 60^\circ = \frac{\sqrt{3}}{2}$.

Рассмотрим первое выражение:

$\sin^2 60^\circ = \left(\frac{\sqrt{3}}{2}\right)^2 = \frac{(\sqrt{3})^2}{2^2} = \frac{3}{4} = 0.75$

Рассмотрим второе выражение:

$2\sin 60^\circ - 1 = 2 \cdot \frac{\sqrt{3}}{2} - 1 = \sqrt{3} - 1$

Приближенное значение $\sqrt{3} \approx 1.732$.

Тогда $\sqrt{3} - 1 \approx 1.732 - 1 = 0.732$.

Теперь сравним $0.75$ и $0.732$.

Очевидно, что $0.75 > 0.732$.

Ответ: $\sin^2 60^\circ$ больше.

г) sin 40° ⋅ cos 20° или 0,25?

Дано: Сравнить $\sin 40^\circ \cdot \cos 20^\circ$ и $0.25$.

Найти: Что больше.

Решение

Воспользуемся формулой произведения синуса на косинус: $\sin A \cos B = \frac{1}{2}[\sin(A+B) + \sin(A-B)]$.

Применим формулу к $\sin 40^\circ \cos 20^\circ$:

$\sin 40^\circ \cos 20^\circ = \frac{1}{2}[\sin(40^\circ+20^\circ) + \sin(40^\circ-20^\circ)]$

$= \frac{1}{2}[\sin 60^\circ + \sin 20^\circ]$

Мы знаем, что $\sin 60^\circ = \frac{\sqrt{3}}{2}$.

Тогда выражение становится:

$\frac{1}{2}\left[\frac{\sqrt{3}}{2} + \sin 20^\circ\right] = \frac{\sqrt{3}}{4} + \frac{1}{2}\sin 20^\circ$

Теперь нам нужно сравнить $\frac{\sqrt{3}}{4} + \frac{1}{2}\sin 20^\circ$ с $0.25 = \frac{1}{4}$.

Сравним разность этих выражений с нулем:

$\left(\frac{\sqrt{3}}{4} + \frac{1}{2}\sin 20^\circ\right) - \frac{1}{4} = \frac{\sqrt{3}-1}{4} + \frac{1}{2}\sin 20^\circ$

Мы знаем, что $\sqrt{3} \approx 1.732$, следовательно $\sqrt{3}-1 \approx 0.732$.

Значит, $\frac{\sqrt{3}-1}{4} \approx \frac{0.732}{4} = 0.183$.

Угол $20^\circ$ лежит в первой четверти, поэтому $\sin 20^\circ > 0$.

Таким образом, $\frac{1}{2}\sin 20^\circ$ также будет положительным числом.

Сумма двух положительных чисел $0.183 + \frac{1}{2}\sin 20^\circ$ будет положительной.

Поскольку $\left(\frac{\sqrt{3}}{4} + \frac{1}{2}\sin 20^\circ\right) - \frac{1}{4} > 0$, то $\frac{\sqrt{3}}{4} + \frac{1}{2}\sin 20^\circ > \frac{1}{4}$.

Ответ: $\sin 40^\circ \cdot \cos 20^\circ$ больше.