Номер 175, страница 92 - гдз по геометрии 8 класс учебник Солтан, Солтан

175. Сравните:

a) $ \sin 20^\circ $ и $ \sin 35^\circ $;

б) $ \cos 15^\circ $ и $ \cos 70^\circ $;

в) $ \sin \alpha $ и $ \sin^2 \alpha $, где $ \alpha $ – острый угол;

г) $ \cos \alpha $ и $ \cos^{-1} \alpha $, где $ \alpha $ – острый угол.

a) sin 20° и sin 35°

Функция синуса является возрастающей на интервале $ (0^\circ, 90^\circ) $. Так как углы $ 20^\circ $ и $ 35^\circ $ находятся в этом интервале и $ 20^\circ < 35^\circ $, то $ \sin 20^\circ < \sin 35^\circ $.

Ответ: $ \sin 20^\circ < \sin 35^\circ $

б) cos 15° и cos 70°

Функция косинуса является убывающей на интервале $ (0^\circ, 90^\circ) $. Так как углы $ 15^\circ $ и $ 70^\circ $ находятся в этом интервале и $ 15^\circ < 70^\circ $, то $ \cos 15^\circ > \cos 70^\circ $.

Ответ: $ \cos 15^\circ > \cos 70^\circ $

в) sin α и sin² α, где α – острый угол

Если $ \alpha $ – острый угол, то $ 0^\circ < \alpha < 90^\circ $. В этом интервале значение $ \sin \alpha $ находится в диапазоне $ (0, 1) $.
Пусть $ x = \sin \alpha $. Нам нужно сравнить $ x $ и $ x^2 $.
Для любого числа $ x $, такого что $ 0 < x < 1 $, выполняется неравенство $ x^2 < x $.
Это можно доказать, рассмотрев разность $ x - x^2 = x(1 - x) $. Поскольку $ x > 0 $ и $ 1 - x > 0 $ (так как $ x < 1 $), то произведение $ x(1 - x) $ будет положительным. Следовательно, $ x - x^2 > 0 $, что означает $ x > x^2 $.

Ответ: $ \sin \alpha > \sin^2 \alpha $

г) cos α и cos⁻¹ α, где α – острый угол.

Мы интерпретируем $ \cos^{-1} \alpha $ как $ 1 / \cos \alpha $ (обратная величина косинуса).
Если $ \alpha $ – острый угол, то $ 0^\circ < \alpha < 90^\circ $. В этом интервале значение $ \cos \alpha $ находится в диапазоне $ (0, 1) $.
Пусть $ y = \cos \alpha $. Нам нужно сравнить $ y $ и $ 1/y $.
Для любого числа $ y $, такого что $ 0 < y < 1 $, выполняется неравенство $ y < 1/y $.
Это можно доказать, умножив обе части неравенства на $ y $ (что является положительным числом, поэтому знак неравенства не меняется): $ y \cdot y < (1/y) \cdot y $, что приводит к $ y^2 < 1 $.
Так как $ 0 < y < 1 $, то возведение $ y $ в квадрат сохранит его в диапазоне $ (0, 1) $. Например, если $ y = 0.5 $, то $ y^2 = 0.25 $. Таким образом, $ y^2 < 1 $ всегда верно для $ 0 < y < 1 $.
Следовательно, $ \cos \alpha < 1 / \cos \alpha $.

Ответ: $ \cos \alpha < \cos^{-1} \alpha $