Номер 173, страница 91 - гдз по геометрии 8 класс учебник Солтан, Солтан

173. Дан квадрат ABCD, O – точка пересечения его диагоналей, M – середина стороны CD. Найдите:

a) $\sin \angle CBM$;

б) $\cos \angle ABO$;

в) $\operatorname{tg} \left( \frac{1}{2} \angle AMB \right)$;

г) $\operatorname{ctg} \angle ABM$.

Дано:

Квадрат $ABCD$.

$O$ - точка пересечения диагоналей $AC$ и $BD$.

$M$ - середина стороны $CD$.

Данные не требуют перевода в систему СИ, так как являются отношениями или углами в геометрической задаче.

Найти:

а) $\sin \angle CBM$

б) $\cos \angle ABO$

в) $\operatorname{tg} \left(\frac{1}{2} \angle AMB\right)$

г) $\operatorname{ctg} \angle ABM$

Решение:

Пусть сторона квадрата $ABCD$ равна $a$.

а) Найти $\sin \angle CBM$

Рассмотрим прямоугольный треугольник $\triangle CBM$. Угол $\angle BCM = 90^\circ$.

Сторона $BC = a$.

Так как $M$ - середина стороны $CD$, то $CM = \frac{1}{2} CD = \frac{a}{2}$.

Найдем длину гипотенузы $BM$ по теореме Пифагора:

$BM^2 = BC^2 + CM^2$

$BM^2 = a^2 + \left(\frac{a}{2}\right)^2$

$BM^2 = a^2 + \frac{a^2}{4} = \frac{4a^2 + a^2}{4} = \frac{5a^2}{4}$

$BM = \sqrt{\frac{5a^2}{4}} = \frac{a\sqrt{5}}{2}$

Теперь найдем $\sin \angle CBM$ как отношение противолежащего катета к гипотенузе:

$\sin \angle CBM = \frac{CM}{BM} = \frac{\frac{a}{2}}{\frac{a\sqrt{5}}{2}} = \frac{a}{2} \cdot \frac{2}{a\sqrt{5}} = \frac{1}{\sqrt{5}} = \frac{\sqrt{5}}{5}$

Ответ: $\sin \angle CBM = \frac{\sqrt{5}}{5}$

б) Найти $\cos \angle ABO$

В квадрате $ABCD$ диагонали $AC$ и $BD$ делят углы квадрата пополам.

Угол $\angle ABC = 90^\circ$.

Диагональ $BD$ является биссектрисой угла $\angle ABC$.

Следовательно, $\angle ABO = \frac{1}{2} \angle ABC = \frac{1}{2} \cdot 90^\circ = 45^\circ$.

Теперь найдем $\cos \angle ABO$:

$\cos \angle ABO = \cos 45^\circ = \frac{\sqrt{2}}{2}$

Ответ: $\cos \angle ABO = \frac{\sqrt{2}}{2}$

в) Найти $\operatorname{tg} \left(\frac{1}{2} \angle AMB\right)$

Рассмотрим треугольники $\triangle ADM$ и $\triangle BCM$.

Поскольку $ABCD$ - квадрат, $AD = BC = a$.

$M$ - середина $CD$, поэтому $DM = CM = \frac{a}{2}$.

Углы $\angle D = \angle C = 90^\circ$.

По признаку равенства треугольников (две стороны и угол между ними), $\triangle ADM \cong \triangle BCM$.

Из равенства треугольников следует, что $AM = BM$. Таким образом, $\triangle AMB$ является равнобедренным.

Проведем высоту $MK$ к стороне $AB$ в равнобедренном треугольнике $\triangle AMB$. Высота $MK$ также является медианой и биссектрисой угла $\angle AMB$.

$MK$ перпендикулярна $AB$ и параллельна $AD$ и $BC$. Длина $MK$ равна стороне квадрата, то есть $MK = a$.

$K$ - середина $AB$, поэтому $AK = \frac{1}{2} AB = \frac{a}{2}$.

Рассмотрим прямоугольный треугольник $\triangle AKM$.

Угол $\angle AKM = 90^\circ$.

$AK = \frac{a}{2}$, $MK = a$.

Нам нужно найти $\operatorname{tg} \left(\frac{1}{2} \angle AMB\right)$. Так как $MK$ - биссектриса угла $\angle AMB$, то $\frac{1}{2} \angle AMB = \angle AMK$.

$\operatorname{tg} \angle AMK = \frac{\text{противолежащий катет}}{\text{прилежащий катет}} = \frac{AK}{MK}$

$\operatorname{tg} \angle AMK = \frac{\frac{a}{2}}{a} = \frac{1}{2}$

Следовательно, $\operatorname{tg} \left(\frac{1}{2} \angle AMB\right) = \frac{1}{2}$.

Ответ: $\operatorname{tg} \left(\frac{1}{2} \angle AMB\right) = \frac{1}{2}$

г) Найти $\operatorname{ctg} \angle ABM$

Мы знаем, что $\angle ABC = 90^\circ$.

Угол $\angle ABM = \angle ABC - \angle CBM = 90^\circ - \angle CBM$.

Используем тригонометрическое тождество: $\operatorname{ctg} (90^\circ - x) = \operatorname{tg} x$.

Следовательно, $\operatorname{ctg} \angle ABM = \operatorname{tg} \angle CBM$.

Рассмотрим прямоугольный треугольник $\triangle CBM$.

$BC = a$ (прилежащий катет к $\angle CBM$).

$CM = \frac{a}{2}$ (противолежащий катет к $\angle CBM$).

$\operatorname{tg} \angle CBM = \frac{\text{противолежащий катет}}{\text{прилежащий катет}} = \frac{CM}{BC} = \frac{\frac{a}{2}}{a} = \frac{1}{2}$.

Таким образом, $\operatorname{ctg} \angle ABM = \frac{1}{2}$.

Ответ: $\operatorname{ctg} \angle ABM = \frac{1}{2}$