Вопросы, страница 90 - гдз по геометрии 8 класс учебник Солтан, Солтан

1. Объясните, почему синус и косинус любого острого угла меньше единицы.

2. Докажите, что меньшему острому углу соответствует:
а) меньшее значение его синуса;
б) большее значение его косинуса.

3. Чему равны значения синуса, косинуса и тангенса углов $30^\circ$, $45^\circ$, $60^\circ$? Объясните, как можно найти эти значения.

1. Объясните, почему синус и косинус любого острого угла меньше единицы.

Рассмотрим прямоугольный треугольник. Синус острого угла определяется как отношение длины противолежащего катета к длине гипотенузы, а косинус острого угла — как отношение длины прилежащего катета к длине гипотенузы. В любом прямоугольном треугольнике гипотенуза всегда является самой длинной стороной. Это означает, что длины обоих катетов (противолежащего и прилежащего) всегда меньше длины гипотенузы. Следовательно, дроби, выражающие синус и косинус (катет/гипотенуза), всегда будут меньше единицы, так как числитель меньше знаменателя. Поскольку острый угол лежит в диапазоне от $0^\circ$ до $90^\circ$, синус и косинус этих углов положительны. Таким образом, для любого острого угла $\alpha$ справедливо: $0 < \sin \alpha < 1$ и $0 < \cos \alpha < 1$.

Ответ:

2. Докажите, что меньшему острому углу соответствует:

a) меньшее значение его синуса;

Рассмотрим два острых угла $\alpha_1$ и $\alpha_2$ такие, что $\alpha_1 < \alpha_2$. Для доказательства можно использовать единичную окружность. Для угла $\alpha$, синус равен y-координате точки, соответствующей этому углу на единичной окружности. При увеличении острого угла от $0^\circ$ до $90^\circ$, y-координата точки на единичной окружности монотонно увеличивается. Следовательно, если $\alpha_1 < \alpha_2$ (и оба угла острые), то $\sin \alpha_1 < \sin \alpha_2$. Таким образом, меньшему острому углу соответствует меньшее значение его синуса.

Ответ:

b) большее значение его косинуса.

Рассмотрим два острых угла $\alpha_1$ и $\alpha_2$ такие, что $\alpha_1 < \alpha_2$. Для доказательства можно использовать единичную окружность. Для угла $\alpha$, косинус равен x-координате точки, соответствующей этому углу на единичной окружности. При увеличении острого угла от $0^\circ$ до $90^\circ$, x-координата точки на единичной окружности монотонно уменьшается. Следовательно, если $\alpha_1 < \alpha_2$ (и оба угла острые), то $\cos \alpha_1 > \cos \alpha_2$. Таким образом, меньшему острому углу соответствует большее значение его косинуса.

Ответ:

3. Чему равны значения синуса, косинуса и тангенса углов $30^\circ$, $45^\circ$, $60^\circ$? Объясните, как можно найти эти значения.

Решение

Значения синуса, косинуса и тангенса для углов $30^\circ$, $45^\circ$, $60^\circ$ следующие:

Для угла $30^\circ$:

$\sin 30^\circ = \frac{1}{2}$

$\cos 30^\circ = \frac{\sqrt{3}}{2}$

$\tan 30^\circ = \frac{1}{\sqrt{3}} = \frac{\sqrt{3}}{3}$

Для угла $45^\circ$:

$\sin 45^\circ = \frac{\sqrt{2}}{2}$

$\cos 45^\circ = \frac{\sqrt{2}}{2}$

$\tan 45^\circ = 1$

Для угла $60^\circ$:

$\sin 60^\circ = \frac{\sqrt{3}}{2}$

$\cos 60^\circ = \frac{1}{2}$

$\tan 60^\circ = \sqrt{3}$

Объяснение, как найти эти значения:

Для углов $30^\circ$ и $60^\circ$:

Рассмотрим равносторонний треугольник $ABC$ со стороной, например, $a = 2$. Все углы в равностороннем треугольнике равны $60^\circ$. Проведем высоту $BH$ из вершины $B$ к стороне $AC$. В равностороннем треугольнике высота также является медианой и биссектрисой. Следовательно, $AH = HC = \frac{a}{2} = 1$, и угол $ABH = \angle CBH = \frac{60^\circ}{2} = 30^\circ$. Треугольник $ABH$ является прямоугольным с прямым углом при $H$. Его стороны: гипотенуза $AB = 2$, катет $AH = 1$. Длину второго катета $BH$ найдем по теореме Пифагора: $BH = \sqrt{AB^2 - AH^2} = \sqrt{2^2 - 1^2} = \sqrt{4 - 1} = \sqrt{3}$.

Теперь можем найти тригонометрические функции для $30^\circ$ и $60^\circ$ из треугольника $ABH$:

Для угла $30^\circ$ (угол $ABH$):

$\sin 30^\circ = \frac{\text{противолежащий катет}}{\text{гипотенуза}} = \frac{AH}{AB} = \frac{1}{2}$

$\cos 30^\circ = \frac{\text{прилежащий катет}}{\text{гипотенуза}} = \frac{BH}{AB} = \frac{\sqrt{3}}{2}$

$\tan 30^\circ = \frac{\text{противолежащий катет}}{\text{прилежащий катет}} = \frac{AH}{BH} = \frac{1}{\sqrt{3}} = \frac{\sqrt{3}}{3}$

Для угла $60^\circ$ (угол $BAH$):

$\sin 60^\circ = \frac{\text{противолежащий катет}}{\text{гипотенуза}} = \frac{BH}{AB} = \frac{\sqrt{3}}{2}$

$\cos 60^\circ = \frac{\text{прилежащий катет}}{\text{гипотенуза}} = \frac{AH}{AB} = \frac{1}{2}$

$\tan 60^\circ = \frac{\text{противолежащий катет}}{\text{прилежащий катет}} = \frac{BH}{AH} = \frac{\sqrt{3}}{1} = \sqrt{3}$

Для угла $45^\circ$:

Рассмотрим равнобедренный прямоугольный треугольник $DEF$. У него один угол $90^\circ$, а два других острых угла равны $(180^\circ - 90^\circ)/2 = 45^\circ$. Пусть длины равных катетов $DE$ и $EF$ равны, например, $b = 1$. Тогда гипотенузу $DF$ найдем по теореме Пифагора: $DF = \sqrt{DE^2 + EF^2} = \sqrt{1^2 + 1^2} = \sqrt{1 + 1} = \sqrt{2}$.

Теперь можем найти тригонометрические функции для $45^\circ$ (угол $EDF$ или $EFD$):

$\sin 45^\circ = \frac{\text{противолежащий катет}}{\text{гипотенуза}} = \frac{EF}{DF} = \frac{1}{\sqrt{2}} = \frac{\sqrt{2}}{2}$

$\cos 45^\circ = \frac{\text{прилежащий катет}}{\text{гипотенуза}} = \frac{DE}{DF} = \frac{1}{\sqrt{2}} = \frac{\sqrt{2}}{2}$

$\tan 45^\circ = \frac{\text{противолежащий катет}}{\text{прилежащий катет}} = \frac{EF}{DE} = \frac{1}{1} = 1$

Ответ: