Номер 162, страница 86 - гдз по геометрии 8 класс учебник Солтан, Солтан

162. В прямоугольном треугольнике гипотенуза равна 15 см, а один из катетов 9 см. Найдите:

а) $sin$ меньшего острого угла треугольника;

б) сумму квадратов $sin$ острых углов;

в) сумму $tan$ и $cot$ одного из острых углов;

г) квадрат суммы $sin$ и $cos$ каждого из острых углов.

Дано:

прямоугольный треугольник

гипотенуза $c = 15 \text{ см}$

катет $a = 9 \text{ см}$

Перевод в СИ:

$c = 15 \text{ см} = 0.15 \text{ м}$

$a = 9 \text{ см} = 0.09 \text{ м}$

Найти:

a) синус меньшего острого угла

б) сумму квадратов синусов острых углов

в) сумму тангенса и котангенса одного из острых углов

г) квадрат суммы синуса и косинуса каждого из острых углов

Решение:

Пусть данный прямоугольный треугольник имеет катеты $a$ и $b$, и гипотенузу $c$.

По условию, $c = 15 \text{ см}$ и один из катетов $a = 9 \text{ см}$.

Найдем второй катет $b$ по теореме Пифагора: $a^2 + b^2 = c^2$.

$9^2 + b^2 = 15^2$

$81 + b^2 = 225$

$b^2 = 225 - 81$

$b^2 = 144$

$b = \sqrt{144}$

$b = 12 \text{ см}$

Таким образом, катеты треугольника равны $9 \text{ см}$ и $12 \text{ см}$, а гипотенуза $15 \text{ см}$.

Острые углы треугольника обозначим $\alpha$ и $\beta$. Пусть угол $\alpha$ лежит напротив катета $a=9 \text{ см}$, а угол $\beta$ - напротив катета $b=12 \text{ см}$.

Меньший острый угол лежит напротив меньшего катета. Так как $9 \text{ см} < 12 \text{ см}$, то угол $\alpha$ является меньшим острым углом.

Найдем значения синусов и косинусов острых углов:

Для угла $\alpha$ (напротив катета $a=9 \text{ см}$):

$\sin \alpha = \frac{\text{противолежащий катет}}{\text{гипотенуза}} = \frac{a}{c} = \frac{9}{15} = \frac{3}{5} = 0.6$

$\cos \alpha = \frac{\text{прилежащий катет}}{\text{гипотенуза}} = \frac{b}{c} = \frac{12}{15} = \frac{4}{5} = 0.8$

Для угла $\beta$ (напротив катета $b=12 \text{ см}$):

$\sin \beta = \frac{\text{противолежащий катет}}{\text{гипотенуза}} = \frac{b}{c} = \frac{12}{15} = \frac{4}{5} = 0.8$

$\cos \beta = \frac{\text{прилежащий катет}}{\text{гипотенуза}} = \frac{a}{c} = \frac{9}{15} = \frac{3}{5} = 0.6$

Найдем значения тангенсов и котангенсов острых углов:

Для угла $\alpha$:

$\tan \alpha = \frac{\text{противолежащий катет}}{\text{прилежащий катет}} = \frac{a}{b} = \frac{9}{12} = \frac{3}{4} = 0.75$

$\cot \alpha = \frac{\text{прилежащий катет}}{\text{противолежащий катет}} = \frac{b}{a} = \frac{12}{9} = \frac{4}{3}$

Для угла $\beta$:

$\tan \beta = \frac{\text{противолежащий катет}}{\text{прилежащий катет}} = \frac{b}{a} = \frac{12}{9} = \frac{4}{3}$

$\cot \beta = \frac{\text{прилежащий катет}}{\text{противолежащий катет}} = \frac{a}{b} = \frac{9}{12} = \frac{3}{4} = 0.75$

a) синус меньшего острого угла треугольника;

Меньший острый угол - это $\alpha$ (напротив катета $9 \text{ см}$).

$\sin \alpha = \frac{9}{15} = \frac{3}{5} = 0.6$

Ответ: $0.6$

б) сумму квадратов синусов острых углов;

Острые углы треугольника - это $\alpha$ и $\beta$. Сумма квадратов их синусов:

$\sin^2 \alpha + \sin^2 \beta = \left(\frac{3}{5}\right)^2 + \left(\frac{4}{5}\right)^2 = \frac{9}{25} + \frac{16}{25} = \frac{25}{25} = 1$

(Это также следует из основного тригонометрического тождества, так как $\sin \beta = \cos \alpha$ для острых углов прямоугольного треугольника: $\sin^2 \alpha + \cos^2 \alpha = 1$).

Ответ: $1$

в) сумму тангенса и котангенса одного из острых углов;

Выберем угол $\alpha$. Сумма его тангенса и котангенса:

$\tan \alpha + \cot \alpha = \frac{3}{4} + \frac{4}{3}$

Приведем к общему знаменателю:

$\frac{3 \cdot 3}{4 \cdot 3} + \frac{4 \cdot 4}{3 \cdot 4} = \frac{9}{12} + \frac{16}{12} = \frac{9 + 16}{12} = \frac{25}{12}$

(Если бы мы выбрали угол $\beta$, результат был бы тот же: $\tan \beta + \cot \beta = \frac{4}{3} + \frac{3}{4} = \frac{25}{12}$).

Ответ: $\frac{25}{12}$

г) квадрат суммы синуса и косинуса каждого из острых углов.

Для угла $\alpha$:

$(\sin \alpha + \cos \alpha)^2 = \left(\frac{3}{5} + \frac{4}{5}\right)^2 = \left(\frac{3+4}{5}\right)^2 = \left(\frac{7}{5}\right)^2 = \frac{7^2}{5^2} = \frac{49}{25}$

Для угла $\beta$:

$(\sin \beta + \cos \beta)^2 = \left(\frac{4}{5} + \frac{3}{5}\right)^2 = \left(\frac{4+3}{5}\right)^2 = \left(\frac{7}{5}\right)^2 = \frac{49}{25}$

Ответ: $\frac{49}{25}$