Номер 164, страница 87 - гдз по геометрии 8 класс учебник Солтан, Солтан

164. a) Докажите, что в прямоугольном треугольнике: 1) произведение тангенсов острых углов равно 1; 2) сумма квадратов синусов острых углов равна 1.

b) Докажите, что для любого острого угла $α$ выполняется неравенство $&sin; α + &cos; α > 1$.

а) Докажите, что в прямоугольном треугольнике:

1) произведение тангенсов острых углов равно 1;

Дано: Прямоугольный треугольник. Острые углы $\alpha$ и $\beta$.

Найти: Доказать, что $\tan \alpha \cdot \tan \beta = 1$.

Решение:
В прямоугольном треугольнике сумма острых углов равна $90^\circ$. Следовательно, $\alpha + \beta = 90^\circ$, откуда $\beta = 90^\circ - \alpha$.
Используем свойство тригонометрических функций дополнительных углов: $\tan(90^\circ - \alpha) = \cot \alpha$.
Также известно, что $\cot \alpha = \frac{1}{\tan \alpha}$.
Подставим выражение для $\beta$ в произведение тангенсов:
$\tan \alpha \cdot \tan \beta = \tan \alpha \cdot \tan(90^\circ - \alpha)$
$= \tan \alpha \cdot \cot \alpha$
$= \tan \alpha \cdot \frac{1}{\tan \alpha}$
$= 1$
Таким образом, произведение тангенсов острых углов прямоугольного треугольника равно 1.

Ответ: Доказано.

2) сумма квадратов синусов острых углов равна 1.

Дано: Прямоугольный треугольник. Острые углы $\alpha$ и $\beta$.

Найти: Доказать, что $\sin^2 \alpha + \sin^2 \beta = 1$.

Решение:
В прямоугольном треугольнике сумма острых углов равна $90^\circ$. Следовательно, $\alpha + \beta = 90^\circ$, откуда $\beta = 90^\circ - \alpha$.
Используем свойство тригонометрических функций дополнительных углов: $\sin(90^\circ - \alpha) = \cos \alpha$.
Основное тригонометрическое тождество гласит: $\sin^2 \alpha + \cos^2 \alpha = 1$.
Подставим выражение для $\beta$ в сумму квадратов синусов:
$\sin^2 \alpha + \sin^2 \beta = \sin^2 \alpha + \sin^2(90^\circ - \alpha)$
$= \sin^2 \alpha + (\sin(90^\circ - \alpha))^2$
$= \sin^2 \alpha + (\cos \alpha)^2$
$= \sin^2 \alpha + \cos^2 \alpha$
$= 1$
Таким образом, сумма квадратов синусов острых углов прямоугольного треугольника равна 1.

Ответ: Доказано.

б) Докажите, что для любого острого угла $\alpha$ выполняется неравенство $\sin \alpha + \cos \alpha > 1$.

Дано: Острый угол $\alpha$. Это означает $0^\circ < \alpha < 90^\circ$.

Найти: Доказать, что $\sin \alpha + \cos \alpha > 1$.

Решение:
Для острого угла $\alpha$ ($0^\circ < \alpha < 90^\circ$) известно, что $\sin \alpha > 0$ и $\cos \alpha > 0$.
Рассмотрим квадрат суммы $\sin \alpha + \cos \alpha$:
$(\sin \alpha + \cos \alpha)^2 = \sin^2 \alpha + 2 \sin \alpha \cos \alpha + \cos^2 \alpha$
Используя основное тригонометрическое тождество $\sin^2 \alpha + \cos^2 \alpha = 1$, преобразуем выражение:
$(\sin \alpha + \cos \alpha)^2 = 1 + 2 \sin \alpha \cos \alpha$
Поскольку $\alpha$ - острый угол, $\sin \alpha > 0$ и $\cos \alpha > 0$. Следовательно, их произведение $\sin \alpha \cos \alpha > 0$.
Тогда $2 \sin \alpha \cos \alpha > 0$.
Из этого следует, что $1 + 2 \sin \alpha \cos \alpha > 1$.
Таким образом, мы получили, что $(\sin \alpha + \cos \alpha)^2 > 1$.
Поскольку $\sin \alpha > 0$ и $\cos \alpha > 0$ для острого угла $\alpha$, то $\sin \alpha + \cos \alpha$ является положительной величиной.
Если квадрат положительного числа больше 1, то само число должно быть больше 1.
Следовательно, $\sin \alpha + \cos \alpha > 1$.

Ответ: Доказано.