Номер 161, страница 86 - гдз по геометрии 8 класс учебник Солтан, Солтан

161. В прямоугольном треугольнике катеты равны 12 см и 16 см.

Найдите:

а) синус большего острого угла треугольника;

б) сумму синусов острых углов;

в) тангенс одного из острых углов;

г) произведение тангенсов острых углов;

д) сумму квадратов синуса и косинуса каждого из острых углов;

е) произведение тангенса и котангенса каждого из острых углов.

Дано:

Катеты прямоугольного треугольника: $a = 12 \text{ см}$, $b = 16 \text{ см}$.

Перевод в СИ:

$a = 12 \text{ см} = 0.12 \text{ м}$

$b = 16 \text{ см} = 0.16 \text{ м}$

Найти:

a) синус большего острого угла треугольника

b) сумму синусов острых углов

c) тангенс одного из острых углов

d) произведение тангенсов острых углов

e) сумму квадратов синуса и косинуса каждого из острых углов

f) произведение тангенса и котангенса каждого из острых углов

Решение:

Сначала найдем гипотенузу $c$ прямоугольного треугольника, используя теорему Пифагора:

$c^2 = a^2 + b^2$

$c = \sqrt{a^2 + b^2} = \sqrt{12^2 + 16^2} = \sqrt{144 + 256} = \sqrt{400} = 20 \text{ см}$.

Теперь определим значения синусов, косинусов и тангенсов острых углов. Пусть $\alpha$ - угол, противолежащий катету $a = 12 \text{ см}$, и $\beta$ - угол, противолежащий катету $b = 16 \text{ см}$. Поскольку $16 \text{ см} > 12 \text{ см}$, угол $\beta$ является большим острым углом.

Синусы острых углов:

$\sin(\alpha) = \frac{\text{противолежащий катет}}{\text{гипотенуза}} = \frac{a}{c} = \frac{12}{20} = \frac{3}{5} = 0.6$

$\sin(\beta) = \frac{\text{противолежащий катет}}{\text{гипотенуза}} = \frac{b}{c} = \frac{16}{20} = \frac{4}{5} = 0.8$

Косинусы острых углов:

$\cos(\alpha) = \frac{\text{прилежащий катет}}{\text{гипотенуза}} = \frac{b}{c} = \frac{16}{20} = \frac{4}{5} = 0.8$

$\cos(\beta) = \frac{\text{прилежащий катет}}{\text{гипотенуза}} = \frac{a}{c} = \frac{12}{20} = \frac{3}{5} = 0.6$

Тангенсы острых углов:

$\tan(\alpha) = \frac{\text{противолежащий катет}}{\text{прилежащий катет}} = \frac{a}{b} = \frac{12}{16} = \frac{3}{4} = 0.75$

$\tan(\beta) = \frac{\text{противолежащий катет}}{\text{прилежащий катет}} = \frac{b}{a} = \frac{16}{12} = \frac{4}{3} \approx 1.333$

Котангенсы острых углов:

$\cot(\alpha) = \frac{\text{прилежащий катет}}{\text{противолежащий катет}} = \frac{b}{a} = \frac{16}{12} = \frac{4}{3} \approx 1.333$

$\cot(\beta) = \frac{\text{прилежащий катет}}{\text{противолежащий катет}} = \frac{a}{b} = \frac{12}{16} = \frac{3}{4} = 0.75$

a) синус большего острого угла треугольника

Больший острый угол - это угол $\beta$, противолежащий большему катету $b = 16 \text{ см}$.

$\sin(\beta) = \frac{16}{20} = \frac{4}{5} = 0.8$

Ответ: $0.8$

b) сумму синусов острых углов

Сумма синусов острых углов $\alpha$ и $\beta$:

$\sin(\alpha) + \sin(\beta) = 0.6 + 0.8 = 1.4$

Ответ: $1.4$

c) тангенс одного из острых углов

Возьмем, например, тангенс угла $\alpha$:

$\tan(\alpha) = \frac{12}{16} = \frac{3}{4} = 0.75$

Ответ: $0.75$

d) произведение тангенсов острых углов

Произведение тангенсов острых углов $\alpha$ и $\beta$:

$\tan(\alpha) \cdot \tan(\beta) = \frac{3}{4} \cdot \frac{4}{3} = 1$

Ответ: $1$

e) сумму квадратов синуса и косинуса каждого из острых углов

По основному тригонометрическому тождеству, сумма квадратов синуса и косинуса одного и того же угла всегда равна 1.

Для угла $\alpha$: $\sin^2(\alpha) + \cos^2(\alpha) = (0.6)^2 + (0.8)^2 = 0.36 + 0.64 = 1$

Для угла $\beta$: $\sin^2(\beta) + \cos^2(\beta) = (0.8)^2 + (0.6)^2 = 0.64 + 0.36 = 1$

Ответ: $1$ (для каждого из углов)

f) произведение тангенса и котангенса каждого из острых углов

По определению, котангенс угла является обратной величиной тангенса этого же угла ($\cot(\theta) = \frac{1}{\tan(\theta)}$). Следовательно, их произведение равно 1.

Для угла $\alpha$: $\tan(\alpha) \cdot \cot(\alpha) = \frac{3}{4} \cdot \frac{4}{3} = 1$

Для угла $\beta$: $\tan(\beta) \cdot \cot(\beta) = \frac{4}{3} \cdot \frac{3}{4} = 1$

Ответ: $1$ (для каждого из углов)