Номер 157, страница 81 - гдз по геометрии 8 класс учебник Солтан, Солтан

157.

a) В квадрате $ABCD$ со стороной $12$ см точки $M$ и $K$ – середины сторон $AB$ и $AD$ соответственно. Найдите стороны треугольника $MCK$.

б) В прямоугольном треугольнике $ABC$ $\angle C = 90^\circ$, $\angle B = 60^\circ$, $BC = 5$ см, $M \in AC$, причем $CM : AM = 1 : 2$. Найдите длину отрезка $MN$, параллельного $AB$, где $N \in BC$.

в) В прямоугольнике $ABCD$ $AD = 3$ см, $AB = 2$ см, $N$ – середина стороны $CD$, $M \in BC$, причем $BM : MC = 2 : 1$. Докажите, что треугольник $AMN$ прямоугольный и найдите с точностью до $1^\circ$ его меньший острый угол.

a)

Дано:

• Квадрат $ABCD$.
• Сторона квадрата $a = 12$ см.
• $M$ — середина стороны $AB$.
• $K$ — середина стороны $AD$.

Перевод в СИ:

• $a = 12$ см $= 0.12$ м.

Найти: Стороны треугольника $MCK$ ($MC, KC, MK$).

Решение:

Поскольку $ABCD$ — квадрат, все его стороны равны $12$ см, и все углы равны $90^\circ$.

Точка $M$ — середина $AB$, значит, $AM = MB = a/2 = 12/2 = 6$ см.

Точка $K$ — середина $AD$, значит, $AK = KD = a/2 = 12/2 = 6$ см.

1. Найдем сторону $MC$. Рассмотрим прямоугольный треугольник $MBC$ (угол $B = 90^\circ$).

Длины катетов: $MB = 6$ см, $BC = 12$ см.

По теореме Пифагора:

$MC^2 = MB^2 + BC^2$

$MC^2 = 6^2 + 12^2 = 36 + 144 = 180$

$MC = \sqrt{180} = \sqrt{36 \cdot 5} = 6\sqrt{5}$ см.

2. Найдем сторону $KC$. Рассмотрим прямоугольный треугольник $KDC$ (угол $D = 90^\circ$).

Длины катетов: $KD = 6$ см, $DC = 12$ см.

По теореме Пифагора:

$KC^2 = KD^2 + DC^2$

$KC^2 = 6^2 + 12^2 = 36 + 144 = 180$

$KC = \sqrt{180} = 6\sqrt{5}$ см.

3. Найдем сторону $MK$. Рассмотрим прямоугольный треугольник $AMK$ (угол $A = 90^\circ$).

Длины катетов: $AM = 6$ см, $AK = 6$ см.

По теореме Пифагора:

$MK^2 = AM^2 + AK^2$

$MK^2 = 6^2 + 6^2 = 36 + 36 = 72$

$MK = \sqrt{72} = \sqrt{36 \cdot 2} = 6\sqrt{2}$ см.

Таким образом, стороны треугольника $MCK$ равны $6\sqrt{5}$ см, $6\sqrt{5}$ см и $6\sqrt{2}$ см.

Ответ: $MC = 6\sqrt{5}$ см, $KC = 6\sqrt{5}$ см, $MK = 6\sqrt{2}$ см.

б)

Дано:

• Прямоугольный треугольник $ABC$.
• $\angle C = 90^\circ$.
• $\angle B = 60^\circ$.
• $BC = 5$ см.
• $M \in AC$.
• $CM : AM = 1 : 2$.
• $MN \parallel AB$, $N \in BC$.

Перевод в СИ:

• $BC = 5$ см $= 0.05$ м.

Найти: Длину отрезка $MN$.

Решение:

1. Найдем угол $A$ в треугольнике $ABC$.

Сумма углов в треугольнике равна $180^\circ$.

$\angle A = 180^\circ - \angle B - \angle C = 180^\circ - 60^\circ - 90^\circ = 30^\circ$.

2. Найдем длину катета $AC$ в треугольнике $ABC$.

Используем тангенс угла $B$:

$\tan(\angle B) = \frac{AC}{BC}$

$\tan(60^\circ) = \frac{AC}{5}$

$AC = 5 \cdot \tan(60^\circ) = 5\sqrt{3}$ см.

3. Найдем длину отрезка $CM$.

Дано, что $CM : AM = 1 : 2$. Это означает, что $AC$ разделен на $1+2=3$ части, где $CM$ составляет одну часть.

Следовательно, $CM = \frac{1}{3} AC = \frac{1}{3} \cdot 5\sqrt{3} = \frac{5\sqrt{3}}{3}$ см.

4. Рассмотрим треугольник $MNC$.

Поскольку $MN \parallel AB$, то треугольник $MNC$ подобен треугольнику $ABC$ (по двум углам: $\angle C$ общий, $\angle NMC = \angle BAC$ как соответственные углы при параллельных прямых $MN$ и $AB$ и секущей $AC$).

Коэффициент подобия $k$ равен отношению сходственных сторон:

$k = \frac{MC}{AC} = \frac{CM}{AC} = \frac{5\sqrt{3}/3}{5\sqrt{3}} = \frac{1}{3}$.

Значит, $MN = k \cdot AB = \frac{1}{3} AB$.

Найдем $AB$ в треугольнике $ABC$ (гипотенуза). Используем косинус угла $B$:

$\cos(\angle B) = \frac{BC}{AB}$

$\cos(60^\circ) = \frac{5}{AB}$

$\frac{1}{2} = \frac{5}{AB}$

$AB = 5 \cdot 2 = 10$ см.

Теперь найдем $MN$:

$MN = \frac{1}{3} \cdot AB = \frac{1}{3} \cdot 10 = \frac{10}{3}$ см.

Ответ: $MN = \frac{10}{3}$ см.

в)

Дано:

• Прямоугольник $ABCD$.
• $AD = 3$ см.
• $AB = 2$ см.
• $N$ — середина стороны $CD$.
• $M \in BC$.
• $BM : MC = 2 : 1$.

Перевод в СИ:

• $AD = 3$ см $= 0.03$ м.
• $AB = 2$ см $= 0.02$ м.

Найти:

• Доказать, что треугольник $AMN$ прямоугольный.
• Найти меньший острый угол треугольника $AMN$ с точностью до $1^\circ$.

Решение:

1. Найдем длины сторон прямоугольника и отрезков на них.

Так как $ABCD$ — прямоугольник, $AB = CD = 2$ см и $AD = BC = 3$ см.

Точка $N$ — середина $CD$, поэтому $CN = ND = CD/2 = 2/2 = 1$ см.

Точка $M$ на $BC$ делит его в отношении $BM : MC = 2 : 1$. Вся длина $BC = 3$ см.

Следовательно, $MC = \frac{1}{1+2} \cdot BC = \frac{1}{3} \cdot 3 = 1$ см.

И $BM = \frac{2}{1+2} \cdot BC = \frac{2}{3} \cdot 3 = 2$ см.

2. Найдем длины сторон треугольника $AMN$ с помощью теоремы Пифагора в соответствующих прямоугольных треугольниках.

а) Сторона $AM$. Рассмотрим прямоугольный треугольник $ABM$ (угол $B = 90^\circ$).

$AM^2 = AB^2 + BM^2$

$AM^2 = 2^2 + 2^2 = 4 + 4 = 8$

$AM = \sqrt{8} = 2\sqrt{2}$ см.

б) Сторона $AN$. Рассмотрим прямоугольный треугольник $ADN$ (угол $D = 90^\circ$).

$AN^2 = AD^2 + DN^2$

$AN^2 = 3^2 + 1^2 = 9 + 1 = 10$

$AN = \sqrt{10}$ см.

в) Сторона $MN$. Рассмотрим прямоугольный треугольник $MCN$ (угол $C = 90^\circ$).

$MN^2 = MC^2 + CN^2$

$MN^2 = 1^2 + 1^2 = 1 + 1 = 2$

$MN = \sqrt{2}$ см.

3. Докажем, что треугольник $AMN$ прямоугольный.

Мы нашли квадраты сторон: $AM^2 = 8$, $AN^2 = 10$, $MN^2 = 2$.

Проверим, выполняется ли обратная теорема Пифагора. Найдем сумму квадратов двух меньших сторон:

$MN^2 + AM^2 = 2 + 8 = 10$.

Эта сумма равна квадрату большей стороны: $AN^2 = 10$.

Поскольку $MN^2 + AM^2 = AN^2$, по обратной теореме Пифагора треугольник $AMN$ является прямоугольным. Прямой угол лежит напротив гипотенузы $AN$, то есть $\angle AMN = 90^\circ$.

4. Найдем меньший острый угол треугольника $AMN$.

Катеты в прямоугольном треугольнике $AMN$ — это $AM = 2\sqrt{2}$ см и $MN = \sqrt{2}$ см.

Гипотенуза $AN = \sqrt{10}$ см.

Меньший острый угол в прямоугольном треугольнике лежит напротив меньшего катета. Сравним длины катетов:

$MN = \sqrt{2} \approx 1.414$ см.

$AM = 2\sqrt{2} \approx 2.828$ см.

Очевидно, $MN < AM$, поэтому меньший острый угол — это $\angle MAN$ (напротив катета $MN$).

Для нахождения $\angle MAN$ используем тангенс:

$\tan(\angle MAN) = \frac{\text{противолежащий катет}}{\text{прилежащий катет}} = \frac{MN}{AM}$

$\tan(\angle MAN) = \frac{\sqrt{2}}{2\sqrt{2}} = \frac{1}{2} = 0.5$

$\angle MAN = \arctan(0.5)$

Вычислим значение угла:

$\angle MAN \approx 26.565^\circ$.

Округлим до $1^\circ$, получаем $27^\circ$.

Ответ: Треугольник $AMN$ является прямоугольным с прямым углом $\angle AMN = 90^\circ$. Меньший острый угол $\approx 27^\circ$.