Практическое задание, страница 82 - гдз по геометрии 8 класс учебник Солтан, Солтан

Постройте прямоугольный треуготельник ABC с прямым углом C. Из какой-либо точки D его гипотенузы проведите перпендикуляр DH к катету AC. Измерьте отрезки AC, AB, AH и AD. Сравните отношения:

а) $ \frac{\mathit{BC}}{\mathit{AB}} $ и $ \frac{\mathit{DH}}{\mathit{AD}} $;

б) $ \frac{\mathit{BC}}{\mathit{AC}} $ и $ \frac{\mathit{DH}}{\mathit{AH}} $;

в) $ \frac{\mathit{AC}}{\mathit{BC}} $ и $ \frac{\mathit{AH}}{\mathit{DH}} $.

Для решения этой задачи необходимо выполнить построение и провести теоретический анализ, основанный на подобии треугольников.

Шаг 1: Построение

Построим прямоугольный треугольник $ABC$, в котором угол $C$ является прямым ($\angle C = 90^\circ$). Для этого начертим два взаимно перпендикулярных отрезка $AC$ и $BC$. Соединив точки $A$ и $B$, получим гипотенузу $AB$.

На гипотенузе $AB$ выберем произвольную точку $D$.

Из точки $D$ проведем перпендикуляр $DH$ к катету $AC$. Это означает, что отрезок $DH$ образует с отрезком $AC$ прямой угол, то есть $\angle AHD = 90^\circ$. Точка $H$ при этом лежит на катете $AC$.

Шаг 2: Анализ и доказательство

Рассмотрим два треугольника, которые у нас получились: большой $\triangle ABC$ и малый $\triangle ADH$.

1. Угол $\angle A$ является общим для обоих треугольников.

2. В $\triangle ABC$ угол $\angle ACB = 90^\circ$ по первоначальному построению.

3. В $\triangle ADH$ угол $\angle AHD = 90^\circ$ по построению перпендикуляра $DH$.

Поскольку два угла одного треугольника ($\angle DAH$ и $\angle AHD$) соответственно равны двум углам другого треугольника ($\angle BAC$ и $\angle ACB$), то треугольники $\triangle ADH$ и $\triangle ABC$ подобны по первому признаку подобия (по двум углам).

Из подобия треугольников ($\triangle ADH \sim \triangle ABC$) следует, что отношения их соответствующих сторон равны. Соответствующие стороны — это стороны, лежащие напротив равных углов. Таким образом, мы получаем следующую пропорцию:

$\frac{AD}{AB} = \frac{AH}{AC} = \frac{DH}{BC}$

Теперь, основываясь на этом выводе, сравним заданные отношения.

а) $\frac{BC}{AB}$ и $\frac{DH}{AD}$

Эти отношения являются определениями синуса угла $A$ в прямоугольных треугольниках $ABC$ и $ADH$ соответственно.

В $\triangle ABC$: $\sin A = \frac{BC}{AB}$ (отношение противолежащего катета к гипотенузе).

В $\triangle ADH$: $\sin A = \frac{DH}{AD}$ (отношение противолежащего катета к гипотенузе).

Поскольку угол $A$ у этих треугольников общий, значения его синуса равны. Следовательно, $\frac{BC}{AB} = \frac{DH}{AD}$.

Также это можно вывести из пропорции подобия. Возьмем ее части $\frac{AD}{AB} = \frac{DH}{BC}$. Используя основное свойство пропорции (произведение крайних членов равно произведению средних), получаем $AD \cdot BC = AB \cdot DH$. Разделив обе части на $AB \cdot AD$, придем к равенству $\frac{BC}{AB} = \frac{DH}{AD}$.

Ответ: Отношения равны: $\frac{BC}{AB} = \frac{DH}{AD}$.

б) $\frac{BC}{AC}$ и $\frac{DH}{AH}$

Эти отношения являются определениями тангенса угла $A$ в прямоугольных треугольниках $ABC$ и $ADH$ соответственно.

В $\triangle ABC$: $\tan A = \frac{BC}{AC}$ (отношение противолежащего катета к прилежащему).

В $\triangle ADH$: $\tan A = \frac{DH}{AH}$ (отношение противолежащего катета к прилежащему).

Так как угол $A$ общий, значения его тангенса равны. Следовательно, $\frac{BC}{AC} = \frac{DH}{AH}$.

Это также следует из пропорции подобия $\frac{AH}{AC} = \frac{DH}{BC}$. Преобразовав ее, получим $AH \cdot BC = AC \cdot DH$, откуда $\frac{BC}{AC} = \frac{DH}{AH}$.

Ответ: Отношения равны: $\frac{BC}{AC} = \frac{DH}{AH}$.

в) $\frac{AC}{BC}$ и $\frac{AH}{DH}$

Эти отношения являются определениями котангенса угла $A$ в прямоугольных треугольниках $ABC$ и $ADH$ соответственно.

В $\triangle ABC$: $\cot A = \frac{AC}{BC}$ (отношение прилежащего катета к противолежащему).

В $\triangle ADH$: $\cot A = \frac{AH}{DH}$ (отношение прилежащего катета к противолежащему).

Так как угол $A$ общий, значения его котангенса равны. Следовательно, $\frac{AC}{BC} = \frac{AH}{DH}$.

Этот результат можно также получить, взяв обратные дроби из равенства, доказанного в пункте б). Если $\frac{BC}{AC} = \frac{DH}{AH}$, то и $\frac{AC}{BC} = \frac{AH}{DH}$.

Ответ: Отношения равны: $\frac{AC}{BC} = \frac{AH}{DH}$.