Номер 165, страница 87 - гдз по геометрии 8 класс учебник Солтан, Солтан

165. a) Найдите диаметр $AB$ окружности, если расстояние от точки $C$ окружности до диаметра равно 6 см, а $\text{tg}\angle ABC = \frac{2}{3}$.

б) Дана окружность радиуса 8 см и на ней точки $A$ и $B$. Найдите $AB$, если:

1) $\widetilde{AB} = 120^\circ$; 2) $\widetilde{AB} = 50^\circ$; 3) окружность разделена точками $A$ и $B$ на две дуги, градусные меры которых относятся как $5 : 7$.

в) Хорда окружности $AB$ равна 75 % диаметра. Найдите градусную меру дуги $\widetilde{AB}$.

г) Угол между прямыми, содержащими диаметр окружности и ее хорду, не имеющую с ним общих точек, равен $20^\circ$. Найдите длину этой хорды, если ее проекция на диаметр равна 6 см.

а)

Дано:

Расстояние от точки $C$ до диаметра $AB$: $CH = 6$ см.

Тангенс угла $ABC$: $\operatorname{tg}\angle ABC = \frac{2}{3}$.

$AB$ - диаметр окружности.

Перевод в СИ:

$CH = 6 \text{ см} = 0.06 \text{ м}$.

Найти:

Диаметр $AB$.

Решение:

Поскольку $AB$ является диаметром окружности, а точка $C$ лежит на окружности, то угол $\angle ACB$, опирающийся на диаметр, является прямым, т.е. $\angle ACB = 90^\circ$. Таким образом, треугольник $ABC$ является прямоугольным.

Проведем высоту $CH$ из вершины $C$ к гипотенузе $AB$. По условию, $CH = 6$ см.

Рассмотрим прямоугольный треугольник $CHB$. В нем $\angle CHB = 90^\circ$.

Тангенс угла $ABC$ (угла $B$) в этом треугольнике определяется как отношение противолежащего катета $CH$ к прилежащему катету $BH$: $ \operatorname{tg}\angle ABC = \frac{CH}{BH} $.

Подставим известные значения: $ \frac{2}{3} = \frac{6}{BH} $.

Отсюда находим $BH$: $ BH = \frac{6 \cdot 3}{2} = 9 $ см.

Теперь рассмотрим прямоугольный треугольник $CHA$. В нем $\angle CHA = 90^\circ$.

В прямоугольном треугольнике $ABC$ сумма острых углов равна $90^\circ$, т.е. $\angle CAB + \angle ABC = 90^\circ$. Следовательно, $\angle CAB = 90^\circ - \angle ABC$.

Тангенс угла $\angle CAB$ (угла $A$) равен котангенсу угла $\angle ABC$: $ \operatorname{tg}\angle CAB = \operatorname{ctg}\angle ABC = \frac{1}{\operatorname{tg}\angle ABC} $.

Подставим значение $\operatorname{tg}\angle ABC$: $ \operatorname{tg}\angle CAB = \frac{1}{2/3} = \frac{3}{2} $.

В прямоугольном треугольнике $CHA$ тангенс угла $CAB$ определяется как отношение противолежащего катета $CH$ к прилежащему катету $AH$: $ \operatorname{tg}\angle CAB = \frac{CH}{AH} $.

Подставим известные значения: $ \frac{3}{2} = \frac{6}{AH} $.

Отсюда находим $AH$: $ AH = \frac{6 \cdot 2}{3} = 4 $ см.

Диаметр $AB$ состоит из отрезков $AH$ и $BH$: $ AB = AH + BH $.

$ AB = 4 + 9 = 13 $ см.

Ответ: $13$ см

б)

Дано:

Радиус окружности: $R = 8$ см.

Перевод в СИ:

$R = 8 \text{ см} = 0.08 \text{ м}$.

Найти:

Длину хорды $AB$ в различных случаях.

Решение:

Пусть $O$ - центр окружности. Тогда $OA = OB = R = 8$ см. Треугольник $AOB$ является равнобедренным.

1) $\smile AB = 120^\circ$

Центральный угол, соответствующий дуге $AB$, равен $\angle AOB = 120^\circ$.

Проведем высоту $OM$ из центра $O$ к хорде $AB$. В равнобедренном треугольнике $AOB$ высота $OM$ также является биссектрисой угла $AOB$ и медианой хорды $AB$.

Поэтому $\angle AOM = \frac{1}{2}\angle AOB = \frac{1}{2} \cdot 120^\circ = 60^\circ$.

В прямоугольном треугольнике $AOM$ ($ \angle OMA = 90^\circ $): $ AM = OA \cdot \sin(\angle AOM) $.

$ AM = R \cdot \sin(60^\circ) = 8 \cdot \frac{\sqrt{3}}{2} = 4\sqrt{3} $ см.

Длина хорды $AB = 2 \cdot AM = 2 \cdot 4\sqrt{3} = 8\sqrt{3}$ см.

Ответ: $8\sqrt{3}$ см

2) $\smile AB = 50^\circ$

Центральный угол, соответствующий дуге $AB$, равен $\angle AOB = 50^\circ$.

Проведем высоту $OM$ из центра $O$ к хорде $AB$.

Поэтому $\angle AOM = \frac{1}{2}\angle AOB = \frac{1}{2} \cdot 50^\circ = 25^\circ$.

В прямоугольном треугольнике $AOM$: $ AM = OA \cdot \sin(\angle AOM) $.

$ AM = R \cdot \sin(25^\circ) = 8 \cdot \sin(25^\circ) $ см.

Длина хорды $AB = 2 \cdot AM = 2 \cdot 8 \cdot \sin(25^\circ) = 16 \cdot \sin(25^\circ)$ см.

Ответ: $16 \sin(25^\circ)$ см

3) окружность разделена точками $A$ и $B$ на две дуги, градусные меры которых относятся как $5:7$.

Сумма градусных мер двух дуг, на которые окружность разделена, равна $360^\circ$.

Пусть градусные меры дуг $AB$ равны $5x$ и $7x$.

Тогда $5x + 7x = 360^\circ \Rightarrow 12x = 360^\circ \Rightarrow x = 30^\circ$.

Меньшая дуга $AB$ имеет градусную меру $5x = 5 \cdot 30^\circ = 150^\circ$. Длина хорды $AB$ соответствует этой меньшей дуге.

Центральный угол, соответствующий этой дуге, $\angle AOB = 150^\circ$.

Проведем высоту $OM$ из центра $O$ к хорде $AB$.

Поэтому $\angle AOM = \frac{1}{2}\angle AOB = \frac{1}{2} \cdot 150^\circ = 75^\circ$.

В прямоугольном треугольнике $AOM$: $ AM = OA \cdot \sin(\angle AOM) $.

$ AM = R \cdot \sin(75^\circ) = 8 \cdot \sin(75^\circ) $ см.

Длина хорды $AB = 2 \cdot AM = 2 \cdot 8 \cdot \sin(75^\circ) = 16 \cdot \sin(75^\circ)$ см.

Мы знаем, что $ \sin(75^\circ) = \sin(45^\circ + 30^\circ) = \sin(45^\circ)\cos(30^\circ) + \cos(45^\circ)\sin(30^\circ) = \frac{\sqrt{2}}{2} \cdot \frac{\sqrt{3}}{2} + \frac{\sqrt{2}}{2} \cdot \frac{1}{2} = \frac{\sqrt{6} + \sqrt{2}}{4} $.

Тогда $ AB = 16 \cdot \frac{\sqrt{6} + \sqrt{2}}{4} = 4(\sqrt{6} + \sqrt{2}) $ см.

Ответ: $4(\sqrt{6} + \sqrt{2})$ см

в)

Дано:

Длина хорды $AB$ равна $75\%$ диаметра $D$: $AB = 0.75 D$.

Перевод в СИ:

Без конкретного значения диаметра или радиуса, перевод в СИ не требуется, поскольку ответ будет в градусах.

Найти:

Градусную меру дуги $AB$.

Решение:

Пусть $R$ - радиус окружности. Тогда диаметр $D = 2R$.

Длина хорды $AB = 0.75 \cdot 2R = 1.5R = \frac{3}{2}R$.

Пусть $O$ - центр окружности. В равнобедренном треугольнике $AOB$, $OA = OB = R$.

Проведем высоту $OM$ из центра $O$ к хорде $AB$. Высота $OM$ делит хорду $AB$ пополам, т.е. $AM = MB = \frac{AB}{2}$.

$ AM = \frac{1}{2} \cdot \frac{3}{2}R = \frac{3}{4}R $.

В прямоугольном треугольнике $AOM$ ($ \angle OMA = 90^\circ $): $ \sin(\angle AOM) = \frac{AM}{OA} $.

$ \sin(\angle AOM) = \frac{3/4 R}{R} = \frac{3}{4} $.

Центральный угол $\angle AOB$ в два раза больше угла $\angle AOM$: $ \angle AOB = 2 \cdot \angle AOM $.

Тогда $\angle AOB = 2 \arcsin\left(\frac{3}{4}\right)$.

Градусная мера дуги $AB$ равна центральному углу, на который она опирается, то есть $\smile AB = \angle AOB$.

Ответ: $2 \arcsin\left(\frac{3}{4}\right)$ градусов

г)

Дано:

Угол между прямой, содержащей диаметр, и прямой, содержащей хорду: $\alpha = 20^\circ$.

Длина проекции хорды на диаметр: $L_{proj} = 6$ см.

Перевод в СИ:

$L_{proj} = 6 \text{ см} = 0.06 \text{ м}$.

Найти:

Длину хорды $L_{chord}$.

Решение:

Пусть $L_{chord}$ - длина хорды. Проекция отрезка на прямую определяется формулой $L_{proj} = L_{chord} \cdot \cos(\alpha)$, где $\alpha$ - угол между отрезком и прямой.

В данном случае, $L_{proj} = 6$ см, и угол $\alpha = 20^\circ$.

$ 6 = L_{chord} \cdot \cos(20^\circ) $.

Отсюда находим длину хорды: $ L_{chord} = \frac{6}{\cos(20^\circ)} $.

Примечание: фраза "не имеющую с ним общих точек" в контексте данного угла ($20^\circ$) и двух прямых (содержащих диаметр и хорду) является противоречивой, так как если две прямые не параллельны (угол $20^\circ \neq 0^\circ$), то они обязательно пересекаются. Если же подразумевается, что отрезки хорды и диаметра не имеют общих точек, то они должны быть параллельны, что противоречит углу $20^\circ$. Скорее всего, эта фраза призвана указать, что хорда не является диаметром, или что она не проходит через центр окружности, но не влияет на расчет длины хорды по заданной проекции и углу.

Ответ: $\frac{6}{\cos(20^\circ)}$ см