Номер 168, страница 90 - гдз по геометрии 8 класс учебник Солтан, Солтан

168. Верно ли, что для любого острого угла $A$:

a) $tg A \ge \sin A$;

б) $tg A \ge \cos A$?

а) tg $A \geq$ sin $A$

Дано

Острый угол $A$, то есть $0^\circ < A < 90^\circ$ или $0 < A < \frac{\pi}{2}$ радиан.

Найти:

Верно ли утверждение tg $A \geq$ sin $A$ для любого острого угла $A$.

Решение

Рассмотрим неравенство tg $A \geq$ sin $A$.

Мы знаем, что tg $A = \frac{\text{sin } A}{\text{cos } A}$. Подставим это в неравенство:

$\frac{\text{sin } A}{\text{cos } A} \geq \text{sin } A$

Поскольку $A$ - острый угол ($0 < A < \frac{\pi}{2}$), то $\text{sin } A > 0$ и $\text{cos } A > 0$.

Мы можем разделить обе части неравенства на $\text{sin } A$. Так как $\text{sin } A$ положительный, знак неравенства не изменится:

$\frac{1}{\text{cos } A} \geq 1$

Теперь умножим обе части на $\text{cos } A$. Так как $\text{cos } A$ также положительный для острого угла, знак неравенства снова не изменится:

$1 \geq \text{cos } A$

Это неравенство $1 \geq \text{cos } A$ (или $\text{cos } A \leq 1$) является истинным для любого угла $A$, так как косинус любого угла всегда находится в диапазоне от -1 до 1, то есть $-1 \leq \text{cos } A \leq 1$.
Более того, для острого угла $A$ ($0 < A < \frac{\pi}{2}$), значение $\text{cos } A$ находится в диапазоне $0 < \text{cos } A < 1$.
Следовательно, для любого острого угла $A$, $\text{cos } A$ всегда строго меньше 1 (за исключением предельного случая $A=0$, который не является острым углом).
Таким образом, $1 > \text{cos } A$ для острого угла $A$.
Так как $1 > \text{cos } A$ влечет за собой $1 \geq \text{cos } A$, исходное неравенство tg $A \geq$ sin $A$ является верным для любого острого угла $A$.

Ответ: Верно.

б) tg $A \geq$ cos $A$

Дано

Острый угол $A$, то есть $0^\circ < A < 90^\circ$ или $0 < A < \frac{\pi}{2}$ радиан.

Найти:

Верно ли утверждение tg $A \geq$ cos $A$ для любого острого угла $A$.

Решение

Рассмотрим неравенство tg $A \geq$ cos $A$.

Заменим tg $A$ на $\frac{\text{sin } A}{\text{cos } A}$:

$\frac{\text{sin } A}{\text{cos } A} \geq \text{cos } A$

Поскольку $A$ - острый угол, $\text{cos } A > 0$. Умножим обе части неравенства на $\text{cos } A$. Знак неравенства не изменится:

$\text{sin } A \geq \text{cos}^2 A$

Используем основное тригонометрическое тождество $\text{cos}^2 A = 1 - \text{sin}^2 A$:

$\text{sin } A \geq 1 - \text{sin}^2 A$

Перенесем все члены в левую часть:

$\text{sin}^2 A + \text{sin } A - 1 \geq 0$

Пусть $x = \text{sin } A$. Поскольку $A$ - острый угол ($0 < A < \frac{\pi}{2}$), то $0 < \text{sin } A < 1$, то есть $0 < x < 1$.

Теперь нам нужно определить, выполняется ли неравенство $x^2 + x - 1 \geq 0$ для всех $x$ в интервале $(0, 1)$.

Найдем корни квадратного уравнения $x^2 + x - 1 = 0$ с помощью формулы для корней квадратного уравнения $x = \frac{-b \pm \sqrt{b^2 - 4ac}}{2a}$:

$x = \frac{-1 \pm \sqrt{1^2 - 4(1)(-1)}}{2(1)}$

$x = \frac{-1 \pm \sqrt{1 + 4}}{2}$

$x = \frac{-1 \pm \sqrt{5}}{2}$

Получаем два корня:

$x_1 = \frac{-1 - \sqrt{5}}{2}$

$x_2 = \frac{-1 + \sqrt{5}}{2}$

Приближенные значения корней:

$x_1 \approx \frac{-1 - 2.236}{2} \approx -1.618$

$x_2 \approx \frac{-1 + 2.236}{2} \approx 0.618$

График параболы $f(x) = x^2 + x - 1$ открывается вверх (так как коэффициент при $x^2$ положителен). Это означает, что $f(x) \geq 0$ при $x \geq x_2$ или $x \leq x_1$.

Мы рассматриваем значения $x = \text{sin } A$ в интервале $(0, 1)$. Для того чтобы неравенство $\text{sin}^2 A + \text{sin } A - 1 \geq 0$ было верным, нам необходимо, чтобы $\text{sin } A \geq \frac{-1 + \sqrt{5}}{2}$.

Поскольку $\frac{-1 + \sqrt{5}}{2} \approx 0.618$, это означает, что неравенство $\text{sin } A \geq 0.618$ должно быть верно для любого острого угла $A$.

Однако это не так. Например, для угла $A = 30^\circ$, $\text{sin } 30^\circ = 0.5$.
$0.5 < 0.618$, то есть $\text{sin } 30^\circ < \frac{-1 + \sqrt{5}}{2}$.
Таким образом, для $A = 30^\circ$ неравенство $\text{sin}^2 A + \text{sin } A - 1 \geq 0$ не выполняется.
Следовательно, исходное неравенство tg $A \geq$ cos $A$ также не выполняется для $A = 30^\circ$.
Проверим: tg $30^\circ = \frac{\sqrt{3}}{3} \approx 0.577$, а cos $30^\circ = \frac{\sqrt{3}}{2} \approx 0.866$.
Ясно, что $0.577 \not\geq 0.866$.

Поскольку мы нашли контрпример, утверждение неверно для любого острого угла $A$.

Ответ: Неверно.